Cesko.wiki Unitární operátor
Author
Albert FloresUnitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor U: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K} splňující vztah: U^* = U^{-1}, tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde \mathcal{H} a \mathcal{K} jsou Hilbertovy prostory.)
Vlastnosti
Alternativní definice
Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.
# U je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy U^* = U^{-1} # U je surjektivní a je izometrií, tzn. : \|U x \| = \| x \| \ \forall x \in \mathcal{H} # U je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn. +more: \lang x,y \rang = \lang U x, U y \rang \ \forall x, y \in \mathcal{H}.
Důkaz:
:(1. ) \Rightarrow (3. +more) \Rightarrow (2. ) ::U^* = U^{-1} \Rightarrow \lang x,x \rang = \lang U^{-1}U x, x \rang = \lang U^*U x, x \rang = \lang U x,U x \rang \Rightarrow \| x \| = \| U x \| ::Protože platí U^{**} = (U^{-1})^* = (U^*)^{-1}, je U^* též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní. :(2. ) \Rightarrow (1. ) ::Označme I identické zobrazení a připomeňme, že: \| x \|^2 = \lang x,x \rang.
::\lang I x, x \rang = \lang x, x \rang = \lang T x, T x \rang = \lang T^*T x, x \rang \ \forall x \in \mathcal{H} \Rightarrow I = T^*T ::Z čehož máme: TT^* = TT^*TT^{-1} = TIT^{-1} = TT^{-1} = I \Rightarrow T^* = T^{-1}. ∎
Další vlastnosti
Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti: * Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení. * Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky. +more * Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi \mathcal{K}. * Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí n \times n, jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi \mathbb{C}^n. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.
Příklady
Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru. * Rotace v \mathbb{R}^n. +more * V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou. * Fourierova transformace v prostoru L2(ℝ). * \exp{(i H)}, kde H je hermitovský operátor a \exp{} značí exponenciálu operátoru.