Usměrňování zlomku

Usměrňování zlomku je matematický postup, jehož cílem je odstranění odmocniny nebo výrazu (obsahující odmocniny) ze jmenovatele zlomku při zachování jeho hodnoty.

Princip usměrnění

Usměrnění se provádí rozšířením zlomku o vhodný výraz, tj. vynásobením čitatele i jmenovatele shodným výrazem (odmocninou nebo výrazem s odmocninou). +more Vychází z faktu:.

* \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{x}{x} = \frac{a \cdot x}{b \cdot x} * \sqrt{x}.\sqrt{x} = x

Částečné odmocnění

Částečné odmocňování je zmenšení čísla pod odmocninou. Číslo pod odmocninou se rozloží na součin dvou čísel (odmocnina z daného čísla musí být vždy celé číslo). +more Pokud není, pokračujeme v rozkladu až na součin prvočísel. Platí: \surd a^2 = |a |; pro všechna a patřící do oboru reálných čísel.

Příklady:

\sqrt{12} = \sqrt{4.3} = 2.\sqrt{3}

\frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{2 . 9}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ; pak je třeba zlomek usměrnit viz příklad1

Příklady

Příklad 1 - odmocnina ve jmenovateli

Usměrnění zlomku \frac{1}{\sqrt{2}}:

Řešení: \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \,\!

Příklad 2 - číselný výraz ve jmenovateli

Usměrnění zlomku \frac{5}{1 + \sqrt{5}}:

Je použit vzorec (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \,\! ; kde a = 1 ; b = \sqrt{5} při řešení:

Řešení: \frac{5}{1 + \sqrt{5}} = \frac{5}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac {1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} = \frac {5 \cdot (1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5}) \cdot (1 - \sqrt{5})} = \frac {5 \cdot (1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac {5}{-4} \cdot (1- \sqrt{5} )

Poznámka: Výsledek lze ve tvaru součinu použít k dalším matematickým operacím. Jedná-li se o výsledek, pak je třeba upravit číselný výraz roznásobením.

Příklad 3 - vyšší odmocniny

Usměrnění zlomku (lomeného výrazu): \frac{1}{\sqrt[3]{x}} :

Řešení: \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} ; použity operace s reálným mocnitelem a^\frac{1}{3} . a^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{a}. +more\sqrt[3]{a^2} =a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = a viz mocnina.

Příklad 4 - lomený výraz

Usměrnění algebraického výrazu \frac{x}{\pi(\sqrt{r} - \sqrt{x})}:

Řešení je obdobné, jako v předchozím případě:

\frac{x}{\pi(\sqrt{r} - \sqrt{x})} = \frac{x}{\pi(\sqrt{r} - \sqrt{x})} \cdot \frac {\sqrt{r} + \sqrt{x}}{\sqrt{r} + \sqrt{x}} = \frac {x \cdot (\sqrt{r} + \sqrt{x})}{\pi \cdot (r - x)}

Při úpravě lomeného výrazu musí být splněny podmínky, kdy je výraz definován (např. zde nesmí být \sqrt{r} + \sqrt{x} = 0 \,\. +more , což platí v oboru reálných čísel.

Příklad 5 - komplexní čísla

Usměrnění resp. dělení komplexním číslem: \frac{2+ 3i}{1-4i}:

Řešení: \frac{2+3i}{1-4i}. \frac{1+4i}{1+4i} = \frac{2 +8i+3i-12}{1+16} = \frac{-10 +11i}{17} = -\frac{10 }{17}+ \frac{11}{17}i

Reference

Související články

Racionální číslo * Algebraický výraz * Odmocnina * Zlomek

Kategorie:Aritmetika