Vlnky Daubechies

Daubechiesové vlnka se 2 nulovými momenty Daubechiesové vlnky (vlnky Daubechies) jsou rodinou ortogonálních vlnek pojmenovaných podle jejich objevitelky, belgické fyzičky a matematičky Ingrid Daubechies. Používají se při diskrétní vlnkové transformaci, nemají explicitní vyjádření a jejich konstrukce je složitá.

Rodina Daubechiesové vlnek je zajímavá tím, že vlnky mají známý počet nulových momentů. Jsou konstruovány tak, že na dané délce nosiče N-1 mají právě maximální počet nulových momentů p. +more Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně p-1 (vlnková transformace bude v odpovídajících místech nulová). Tato vlastnost činí vlnky vhodnými k použití v aplikacích potlačení resp. získání polynomiální části signálu. Další aplikací je použití vlnky jako derivátoru (parciálního diferenciálního operátoru) daného řádu p pro detekci nespojitostí v signálu a jeho derivacích.

Vlnka řádu 1 (s jedním nulovým momentem) se také nazývá Haarova vlnka.

Vlastnosti: * asymetrické (až na p = 1) * ortogonální, biortogonální * délka filtrů (počet koeficientů) N = 2p * kompaktní nosič délky N - 1 = 2p - 1 * vlnky \psi mají p nulových momentů

Výpočet koeficientů

Koeficienty škálovací funkce (dolní propusti H_0 při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.

Normalizace: : \sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] = \sqrt{2} nebo \sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] = 2 (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou \sqrt{2}) z čehož plyne : \sum_{n=0}^{N-1} (h_0[n])^2 = 1 nebo \sum_{n=0}^{N-1} (h_0[n])^2 = 2 (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou \sqrt{2})

Ortogonalita: : \sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] h_0[n-2k] = 0 pro k \not= 0

Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti): : \sum_{n=0}^{N-1} (-1)^n h_0[n] n^m = 0 pro 0 \leq m

Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).

Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů (N) nebo počet nulových momentů (p), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).

Příklad

Výpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo h_0 je použito pouze značení h):

t = solve( 'h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1', % normalizace 'h2*h0 + h3*h1 = 0', % ortogonalita '+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0', % nulovost nultého '+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0' % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti) ); r=length(t. h0); % počet řešení s=[1:r]; eval( [t. +moreh0(s) t. h1(s) t. h2(s) t. h3(s)] ) % zobrazit řešení.

Řešení (pouze dolní propusti):

Související články

vlnková transformace * kvadraturně zrcadlový filtr * Haarova vlnka - Daubechiesové vlnka s jedním nulovým momentem * coiflety * symlety - rodina více symetrických vlnek se stejnými vlastnosti jako mají Daubechiesové vlnky

Externí odkazy

Reference

Literatura

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Vlnky