Cesko.wiki Vnější součin
Author
Albert FloresObjem trojrozměrného rovnoběžnostěnu sevřeného vektory r_1, r_2 a r_3. Vnější součin je v matematice (n-1)-ární operace násobení vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor kolmý ke všem násobeným vektorům a jeho velikost je rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu násobenými vektory sevřeného.
Definice
Mějme aritmetický vektorový prostor \mathbb{R}^{n} s ortonormální bází nad číselným tělesem \mathbb{R}, pak pro vektory \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_{n} \in \mathbb{R}^{n} platí, že vektor \mathbf{v}_1 je vnějším součinem vektorů \mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_{n} vzhledem k uvedené bázi, právě když:
:\mathbf{v}_1 = \bigwedge(\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_{n}) = [(-1)^{1+1} det A_1,\cdots,(-1)^{n+1} det A_{n}],
symbolem \bigwedge značíme vnější součin a matice A_i pro i \in \{1,\dots,n\} vznikly vynecháním i-tého sloupce matice:
:\begin{bmatrix} v_2{}^1 &\cdots &v_2{}^{n}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ v_n{}^1 & \cdots &v_n{}^{n}\\ \end{bmatrix}
kde dolní index označuje index vektoru a horní index označuje index jeho souřadnice vzhledem k dané bázi.
Vektorový součin
Mějme aritmetický vektorový prostor \mathbb{R}^{3} s kanonickou bází nad číselným tělesem \mathbb{R}, pak pro vektory \mathbf{z},\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{3} platí, že vektor \mathbf{z} je vnějším součinem vektorů \mathbf{x},\mathbf{y} vzhledem k uvedené bázi, právě když:
:\mathbf{z}=\mathbf{x} \times \mathbf{y}= [\begin{vmatrix} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3\\ \end{vmatrix} ,-\begin{vmatrix} x_1 &x_3\\ y_1 &y_3\\ \end{vmatrix} ,\begin{vmatrix} x_1 &x_2\\ y_1 &y_2\\ \end{vmatrix}]= [x_2 y_3-y_2 x_3,y_1 x_3-x_1 y_3,x_1 y_2-y_1 x_2] , tj.:
:|\mathbf{z}|^2=(x_2 y_3-y_2 x_3)^2+(y_1 x_3-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2-y_1 x_2)^2=|\mathbf{x}|^2|\mathbf{y}|^2-(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y})^2=|\mathbf{x}|^2|\mathbf{y}|^2(1- cos^2 \varphi)=|\mathbf{x}|^2|\mathbf{y}|^2 sin^2 \varphi,
přičemž smíšený součin \mathbf{x}\cdot(\mathbf{x}\times\mathbf{y})=0 a \mathbf{y}\cdot(\mathbf{x}\times\mathbf{y})=0, tj. vektor \mathbf{z} je kolmý na vektory \mathbf{x} a \mathbf{y} a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory, tj. +more vektor \mathbf{z} je vektorovým součinem vektorů \mathbf{x} a \mathbf{y}.
