Věta o translaci

Věta o translaci je matematická věta o polynomiálních diferenciálních operátorech (D-operátorech) a exponenciálních funkcích. V určitých případech umožňuje vytýkat exponenciální funkce před D-operátor.

Tvrzení

Věta o translaci říká, že jestliže P(D) je polynomiální D-operátor, pak pro libovolnou dostatečně derivovatelnou funkci y platí

:P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.\,

Důkaz

Pro důkaz použijeme matematickou indukci. Stačí dokázat pouze speciální případ

:P(D)=D^n\,

protože obecný výsledek z něho vyplývá díky linearitě D-operátorů.

Tvrzení je zřejmě pravdivé pro n = 1, protože

:D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.\,

Pro důkaz matematickou indukcí budeme předpokládat, že tvrzení je pravdivé pro n = k, tj.

:D^k(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^k y.\,

Pak

:\begin{align}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv\frac{d}{dx}\{e^{ax}(D+a)^ky\}\\ &{}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{(D+a)^k y\}+ae^{ax}\{(D+a)^ky\}\\ &{}=e^{ax}\left\{\left(\frac{d}{dx}+a\right)(D+a)^ky\right\}\\ &{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{align}

Což uzavírá důkaz.

Další použití

Větu o translaci lze použít i pro inverzní operátory:

:\frac{1}{P(D)}(e^{ax}y)=e^{ax}\frac{1}{P(D+a)}y.\,

Existuje podobná verze věty o translaci pro Laplaceovy transformace (t):

:\scriptstyle\mathcal{L}(e^{v} f(t))=\scriptstyle\mathcal{L}(f(t-a)).\,

Reference

Věta o translaci