Weibullovo rozdělení

Technology

12 hours ago

Author

Weibullovo rozdělení je pravděpodobnostní rozdělení, které je pojmenováno po švédském statistikovi Walodu Weibullovi. Toto rozdělení se používá pro popis setrvačných událostí, které jsou charakterizovány časem trvání, růstem nebo jinými fyzikálními veličinami. Weibullovo rozdělení je parametrizované funkcemi měřítka a tvaru a je často používáno v různých disciplínách, jako je statistika, pravděpodobnostní teorie, spolehlivostní a přežití analýza, meteorologie nebo materiálové vědy. Rozdělení je určeno podle hodnot parametrů a může nabývat různých tvarů - od exponenciálního, přes Rayleighovo, až po rozdělení s těžším ocáskem, závislým na hodnotě parametru tvaru. Weibullovo rozdělení se také často používá k proložení dat, určení spolehlivosti a rizika nebo při modelování různých jevů.

Weibullovo rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti. Jméno nese po švédském matematikovi Waloddim Weibullovi, který jej podrobně popsal v roce 1951, ačkoli bylo poprvé identifikováno Fréchetem (1927) a poprvé použito Rosinem a Rammlerem (1933) k popisu distribuce velikosti částic.

Standardní parametrizace

Hustota pravděpodobnosti +moresvg|náhled|300px'>Distribuční funkce Hustota pravděpodobnosti Weibullovy náhodné veličiny je:.

: f(x;\lambda,k) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0 ,\\ 0 & x

kde k > 0 je parametr tvaru a λ > 0 je měřítko distribuce. Weibullova distribuce souvisí s řadou dalších distribucí pravděpodobnosti; zejména leží mezi exponenciálním rozdělením (k = 1) a Rayleighovým rozdělením (k = 2 a \lambda = \sqrt{2}\sigma ).

V lékařské statistice a v ekonometrii se používá jiná parametrizace. Parametr tvaru k je stejný jako výše a parametr měřítka je b = \lambda^{-k}.

Někdy se používá i třetí parametrizace, kdy je parametr tvaru k opět stejný jako výše a parametr měřítka je \beta = 1/\lambda.

Kumulativní distribuční funkce pro Weibullovo rozdělení je

: F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,

pro x ≥ 0 a F ( x ; k ; λ) = 0 pro x Q(p;k,\lambda) = \lambda(-\ln(1-p))^{1/k}

pro 0 ≤ p

Aplikace

Weibullova distribuce se používá * V analýze přežívání * V analýze spolehlivosti a poruch * V elektrotechnice může reprezentovat přepětí vyskytující se v elektrickém systému * V průmyslovém inženýrství k popisu výrobních a dodacích lhůt * V teorii extrémních hodnot * V oblastech předpovídání počasí a větrné energetiky popisuje rozdělení rychlosti větru, protože přirozené rozdělení často odpovídá Weibullovu tvaru * V inženýrství komunikačních systémů ** V radarových systémech modeluje rozptyl úrovně přijímaných signálů produkovaných některými typy rušení ** K modelování fadingu v bezdrátových komunikacích, protože se zdá, že Weibullův model vyhovuje experimentálním měřením zeslabování signálu * V analýze vyhledávání informací modeluje dobu setrvání uživatelů na webových stránkách. * V oblasti pojištění bylo Weibullovo rozdělení použito k modelování velikosti pojistných nároků na zajišťovny a kumulativního vývoje ztrát z azbestózy * Při předpovídání technologických změn (model Sharifa-Islama) * V hydrologii se Weibullova distribuce aplikuje na extrémní události, jako jsou roční maximální jednodenní srážky a průtoky řek. +more * Při popisu velikosti částic generovaných mletím a drcením se používá dvouparametrická Weibullova distribuce, a v těchto aplikacích je někdy známá jako Rosinova-Rammlerova distribuce. V této souvislosti předpovídá méně jemných částic než log-normální rozdělení a je obecně nejpřesnější pro úzké distribuce velikosti částic. Interpretace kumulativní distribuční funkce je, že F(x; k, \lambda) je hmotnostní zlomek částic s průměrem menším než x, kde \lambda je střední velikost částic a k je míra rozptýlenosti velikosti částic. * Při popisu mraků náhodných bodů (jako jsou polohy částic v ideálním plynu): pravděpodobnost nalezení nejbližšího souseda ve vzdálenosti x od dané částice je dána Weibullovou distribucí s k=3 a \rho=1/\lambda^3 rovným hustotě částic.