Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkci f(x) označíme jako absolutně spojitou na intervalu \langle a,b\rangle, jestliže k libovolnému \varepsilon>0 existuje takové \delta>0, že pro každý systém intervalů \langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle,\, \dots, \langle a_n,b_n\rangle, pro který je a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b, a \sum_{i=1}^n (b_i-a_i) platí \sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|.

Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu \langle a,b\rangle značíme AC(a,b)

Příklady

Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá. * Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá. +more * f(x)=x je absolutně spojitá.

Ekvivalentní definice

f je absolutně spojitá na \langle a,b\rangle právě tehdy, když * f \in L^1(a,b) je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí * \exists g \in L^1(a,b) taková, že f(x)=\int_a^x g(t)\mathrm{dt} \mbox{ } \forall x\in ( a,b) * \exists h \in L^1(a,b) taková, že |f(d)-f(c)|\leq\int_c^d h(t)\mathrm{dt} \mbox{ } \forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle

Vlastnosti

Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý. * Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá. +more * Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá * Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} f'(t) \mathrm{dt} \mbox{ } \forall x\in \langle a,b\rangle * pokud f \in L^1(a,b) a F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{dt}, pak F je absolutně spojitá na \langle a,b\rangle.

Související články

Lipschitzovsky spojité zobrazení * Spojitá funkce

Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí