Centrum grupy

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice

Centrem grupy \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) myslíme množinu \{h \in G|\forall g \in G:g\odot h = h\odot g\}. Tedy množinu všech prvků z G, které s každým prvkem z G vyhovují komutativnímu zákonu. +more Ve zbytku článku jej budeme značit Z(G).

Lemma

Nechť \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) je grupa. Pak Z(G)\trianglelefteq G (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz

Rozmyslete si, že Z(G) je uzavřené na \odot (tj. pokud h, g \in Z(G), pak i h\odot g \in Z(G)) a e \in Z(G) (připomeňme, že prvek e jednotkový prvek grupy G, pokud \forall g \in G: g\odot e = e\odot g = g).

Pokud je g \in Z(G), pak g^{-1}\odot h=(h^{-1}\odot g)^{-1}=(g \odot h^{-1})^{-1}=h \odot g^{-1}. Tím jsme ukázali, že g^{-1}\in Z(G).

Zatím jsme dokázali, že Z(G) je grupa, víme, že se skládá jen z prvků G, takže je to podgrupa G. Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné g \in Z(G) a jakékoli h \in G. Pak h\odot g\odot h^{-1} = h\odot h^{-1} \odot g = e\odot g = g. Tedy h\odot g\odot h^{-1} \in Z(G) a proto je Z(G) normální podgrupa G.

Poznámka

Nosič G každé grupy \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) může být zapsán takto: G=Z(G)\cup^{disj. }\bigcup_{h \in I}^{disj. +more}O_h, kde O_h je orbita prvku h \in G vzhledem k vnitřnímu automorfismu a I je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy G.

Důsledek

Je-li \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) konečná grupa, pak |G|=|Z(G)|+\sum_{h\in I}[G:C_h], kde I je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy G a [G:C_h] je index stabilisátoru prvku h.

Další Důsledek

Nechť \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) je grupa řádu |G|=p^n, kde p je prvočíslo a 0. Pak |Z(G)|>1.

Věta

Ať \mathcal{G} je grupa řádu p^2, kde p je prvočíslo. Pak \mathcal{G} je komutativní a buď \mathcal{G}\backsimeq \mathbb{Z}_{p^2} nebo \mathcal{G}\backsimeq \mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p

Důkaz

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související články

Normální podgrupa * Akce grupy na množině * Orbita * Grupa

Literatura

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy

[url=https://web.archive.org/web/20070623184351/http://www.karlin.mff.cuni.cz/~trlifaj/alg026-7.pdf]Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)[/url]

Kategorie:Teorie grup