Vnitřní automorfismus

Vnitřní automorfismus je v abstraktní algebře automorfismus grupy, okruhu nebo algebry daný konjugací pevným prvek, zvaným konjugující prvek. Tyto vnitřní automorfismy tvoří podgrupu grupy automorfismů. Dále podíl grupy automorfismů s touto podgrupou dává vzniknout konceptu grupy vnějších automorfismů.

Definice

Je-li grupa (nebo okruh) a je prvek (jestliže je okruh, pak musí být jednotka), pak se funkce

\varphi_g : G \longrightarrow G

\varphi_g : x \mapsto g^{-1}xg

nazývá (pravá) konjugace podle (viz konjugační třída). Tato funkce je homomorfismus : pro všechny a, b \in G platí:

\varphi_g(ab) = g^{-1}abg = (g^{-1}ag)(g^{-1}bg) = \varphi_g(a)\varphi_g(b),

kde druhá rovnost je dána vložením identity mezi a a b. Dále má toto zobrazení levou i pravou inverzi, totiž \varphi_{g^{-1}}. +more Tím pádem je \varphi_g bijekcí, a tedy i izomorfismem z na sebe sama, tj. automorfismem. Vnitřní automorfismus je jakýkoliv automorfismus, který vzniká z konjugace.

V případě pravé konjugace se výraz g^{-1}xg často značí pomocí mocniny: x^g. Tento zápis se používá, protože složení konjugací je asociativní: (x^a)^b = x^{ab}, pro všechna a, b \in G. +more To ukazuje, že konjugace určuje pravé působení na sebe samotné.

Vnitřní a vnější grupy automorfismů

Složení dvou vnitřních automorfismů je opět vnitřním automorfismem a pod touto operací tvoří soubor všech vnitřních automorfismů grupy grupu vnitřních automorfismů , značenou .

je normální podgrupa celé grupy automorfismů . Grupa vnějších automorfismů, je podílová grupa

:

Grupa vnějších automorfismů v určitém smyslu měří, kolik automorfismů není vnitřních. Každý nevnitřní automorfismus dává vzniknout netriviálnímu prvku , ale různé nevnitřní automorfismy mohou dát stejný prvek .

Tvrzení, že konjugace podle ponechá nezměněno, je ekvivalentní k tvrzení, že a komutují:

: .

Existence a počet vnitřních automorfismů, které nejsou identitou, je tedy v určitém smyslu měrou selhání komutativního zákona v dané grupě (nebo okruhu).

Automorfismus grupy je vnitřní, právě když jej lze rozšířit na každou grupu obsahující .

Propojením prvku s vnitřním automorfismem v , jak je uvedeno výše, se získá izomorfismus mezi podílovou grupou (kde je centrum ) a grupou vnitřních automorfismů:

: .

To je důsledek první věty o izomorfismu, neboť je souborem právě těch prvků , které jako odpovídající vnitřní automorfismus udávají identické zobrazení (konjugace nemá vliv).

Nevnitřní automorfismy konečných {{Mvar|p}}-grup

Výsledek jedné práce Wolfganga Gaschütze říká, že pokud je konečná neabelovská -grupa, pak má automorfismus řádu , který není vnitřní.

Zda má každá neabelovská -grupa automorfismus řádu , je otevřený problém. Tato otázka má kladnou odpověď, pokud má jednu z následujících vlastností:

# je nilpotentní grupa třídy 2 # je regulární -grupa # je mocná -grupa # centralizátor centra Frattiniho podgrupy v , tj. , není roven

Typy grup

Grupa vnitřních automorfismů grupy, je triviální (tj. sestává pouze z neutrálního prvku), právě když je abelovská.

Grupa je cyklická, jen pokud je triviální.

Na opačném konci spektra mohou vnitřní automorfismy pokrýt celou grupu automorfismů; grupa, jejíž automorfismy jsou všechny vnitřní a jejíž centrum je triviální, se nazývá úplná. To je případ všech symetrických grup o prvcích, když není 2 nebo 6; když , má symetrická grupa jedinečnou netriviální třídu vnějších automorfismů, a když , je symetrická grupa, přestože nemá žádný netriviální vnější automorfismus, abelovská, díky čemuž má netriviální centrum, a to ji odpírá úplnost.

Je-li grupa vnitřních automorfismů perfektní grupy jednoduchá, pak se nazývá skorojednoduchá.

Lieovy algebry

Automorfismus Lieovy algebry je nazýván vnitřním automorfismem, jestliže je tvaru , kde je adjungované zobrazení a je prvek Lieovy grupy, jejíž Lieova algebra je . Pojem vnitřního automorfismu je pro Lieovy algebry kompatibilní s tím grupovým v tom smyslu, že vnitřní automorfismus Lieovy grupy udává jedinečný vnitřní automorfismus odpovídající Lieovy algebry.

Rozšíření

Jestliže je grupa jednotek okruhu , pak může být vnitřní automorfismus nad rozšířen na zobrazení nad projektivní přímkou nad grupou jednotek maticového okruhu . Tímto způsobem lze rozšířit zejména vnitřní automorfismy klasických grup.

Odkazy

Reference

Literatura

Kategorie:Teorie grup Kategorie:Údržba:Články s nekontrolovanými překlady