De Rhamův diferenciál

DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

Definice

Nechť M je diferencovatelná varieta dimenze n a \Omega^{\bullet}(M) je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na M. Pak deRhamův diferenciál d = (d_k)_{k=0}^n je systém zobrazení d_k: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M) definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť \alpha \in \Omega(M) a (\phi = (x^1,\ldots, x^n), U) jsou nějaké souřadnice z atlasu M. Pak pro každý multiindex I existují hladké funkce \alpha_I, že \alpha = \sum_{|I|=k} \alpha_I dx^I na U, kde dx^I = dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge dx^{i_k} a I = (i_1, \ldots, i_k) a i_1, \ldots i_k \in \{1, \ldots, n\}. +more DeRhamův diferenciál d \alpha formy \alpha je dán předpisem d \alpha = \sum_{|I|=k} d\alpha_I \wedge dx^I, kde d\alpha_I je deRhamův diferenciál funkce (0-formy) \alpha_I . Tento je definován přepisem df = \sum_{i=0}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i.

Vlastnosti

d^2 = 0 nebo obšírněji d_{k+1} d_k = 0 (diferenciál).

d(\alpha + r \beta) = d\alpha + r d \beta, r \in \mathbb{R} (linearita nad \mathbb{R})

d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{\mbox{deg } \alpha} \alpha \wedge d\beta (Leibnizovo pravidlo)

Poznámka

Diferenciální formu \alphanazveme uzavřenou, pokud d\alpha=0. Diferenciální formu \alphanazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma \beta, že d\beta = \alpha.

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhameova komplexu) 0 \to \Omega^1(M) \to^d \ldots \to^{d} \Omega^{n-1}(M) \to^d \Omega^n(M) \to 0 se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy. +more Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

Literatura

[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish.

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.

Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Algebraická topologie