Epicykloida

Vznik epicykloidy kotálením Epicykloda s celým a epicykloida s racionálním poměrem poloměrů Epicykloida je pojem z oboru geometrie, který označuje křivku vzniklou jako trasa pevně zvoleného bodu kružnice, která se kotálí kolem druhé kružnice. Pro její podobu jsou zásadními parametry poloměry oněch kružnic.

Parametrické vyjádření

Označíme-li velikost pohyblivé křivky r a velikost poloměru pevné křivky R=kr, pak při umístění počátku souřadné soustavy do středu pevné kružnice můžeme epicykloidu popsat rovnicemi

:x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left(\left(1+\frac{R}{r}\right) \theta \right) :y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left(\left(1+\frac{R}{r}\right) \theta \right).

Podoba

Pokud je výše definované k celé číslo, tedy se vnější kružnice po k otočkách vrátí přesně do výchozího stavu, má epicykloida právě k hrotů, kde nemá derivaci.

Je-li k racionální číslo vyjádřitelné v základním tvaru jako k=p/q, pak má právě p hrotů.

Pokud je k iracionální číslo, pak se epicykloida dotkne obíhané kružnice pokaždé v jiném bodě a tyto body tvoří hustou množinu.

Zvláštními pojmenovanými případy epicykloidy jsou: * kardioida neboli srdcovka, která má poloměry obou kružnic stejné. * nefroida, která má poloměr vnitřní kružnice dvojnásobný oproti kružnici vnější.

Externí odkazy

Kategorie:Algebraické křivky Kategorie:Rovinné křivky