Evoluční operátor

Evoluční operátor vyjadřuje časový vývoj fyzikálního systému, používá se zejména v kvantové mechanice.

Časový vývoj je změna stavu fyzikálního (či jiného) systému způsobená postupem času. Matematicky se časový vývoj často popisuje pomocí diferenciálních rovnic, tzv. +more pohybových rovnic. V klasické mechanice jsou to například Hamiltonovy rovnice nebo dvě ze čtyř Maxwellových rovnic, v kvantové mechanice je to Schrödingerova rovnice závislá na čase. Časový vývoj lze vyjádřit i pomocí evolučního operátoru, tedy operátoru, který převádí stav systému z jednoho časového okamžiku do jiného.

Evoluční operátor v kvantové teorii

Evoluční operátor v kvantové teorii určuje časový vývoj systému. Operátor U určuje vývoj stavů v čase t, což lze zapsat jako

:|\psi (t)\rangle =\hat{U}(t,t_0) |\psi (t_0)\rangle.

Při jeho určení se vychází z hamiltoniánu systému H a ze Schrödingerovy rovnice:

:\frac{d \hat{U}(t,t_0)}{dt}= \frac{1}{i\hbar} \hat{H}(t) \hat{U}(t,t_0).

Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase, lze rovnici formálně řešit. Platí:

:U(t,t_0)=\exp \left(-\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right).

Pro evoluční operátor platí:

:\hat{U}(t,t_0)= \hat{U}(t,t_1) \hat{U}(t_1,t_0),

:\hat{U} (t,t) = 1,

:\hat{U}(t,t_0)= U^{-1} (t_0,t).

Dále je evoluční operátor operátorem unitárním, neboť nemění velikost normy vektoru, tedy

:\hat{U}(t,t_0) \hat{U}^{+}(t,t_0)=1.

Výpočet evolučního operátoru je obecně nesnadnou záležitostí, známe-li však vlastní čísla \epsilon_i a vlastní vektory \psi_i časově nezávislého hamiltoniánu, pak je evoluční operátor dán jako:

:\hat{U}(t,t_0) = \sum_i \exp \left(-\frac{i}{\hbar} \epsilon_i (t-t_0)\right) |\psi_i\rangle \langle \psi_i |,

kde platí

:\hat{H}|\psi_i \rangle= \epsilon_i |\psi_i \rangle,

:\langle \psi_i| \psi_j \rangle = \delta_{ij},

:\sum_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |=1.

Literatura

Kategorie:Kvantová fyzika Kategorie:Čas