Goniometrická rovnice

Goniometrická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v goniometrické funkci.

K vyřešení goniometrické rovnice se používá jednotková kružnice.

Příklad, jak může goniometrická rovnice vypadat:

(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0

Řešení goniometrické rovnice

Jednoduché rovnice

1. rovnice

# \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} # x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z} # x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}

2. rovnice

# \textrm{tg}\, x = -\sqrt{3} # x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k\in\mathbb{Z}

Substituce

1. rovnice

# (\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0 # Zavedeme substituci a = \sin x: a^{2} + 2a - 3 = 0 # Vypočítáme kvadratickou rovnici: a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 # Nyní si můžeme napsat 2 rovnice: ## \sin x = 1 ## \sin x = -3 # Vyřešíme obě rovnice: ## \sin x = 1 x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi ## \sin x = -3 x = \phi

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

2. rovnice

# \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 # Zavedeme substituci a = x + \frac{\pi}{6}: \sin a = 1 # a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi # Dosadíme substituci a = x + \frac{\pi}{6}: x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi # a = x + \frac{\pi}{6}: x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi - \frac{\pi}{6} # x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi # x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Rovnice s více funkcemi současně

1. rovnice

1. \sqrt{3}\cos x =2 - \sin x

2. umocníme rovnici na druhou:

3\cos^2x = (2-\sin x)^2

3. použijeme vzorec \cos^2x=1-\sin^2x

3-3\sin^2x=4-4\sin x+\sin^2x

4. 0=4\sin^2x-4\sin x+1

5. použijeme vzorec a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

(2\sin x-1)^2=0

6. celou rovnici odmocníme:

2\sin x-1=0

7. \sin x=\frac{1}{2}

x_{\scriptstyle\text{1}}=\frac{\pi}{6}+2k\pi

x_{\scriptstyle\text{2}}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi

8. z důvodu neekvivalentních úprav 2. a 6. je nutná zkouška

kořen x_{\scriptstyle\text{2}} rovnici nevyhovuje a jediným řešením je x_{\scriptstyle\text{1}}

Takto je možné řešit rovnice se dvěma různými goniometrickými funkcemi

2. rovnice

# (\cot x)^{-1}=-(\tan x)^{-1}+2(\sin x)^{-1} # Použijeme vztahy mezi funkcemi:

\tan x=2(\sin x)^{-1}-\cot x

\frac {\sin x} {\cos x}=\frac {2} {\sin x}-\frac {\cos x} {\sin x} # zbavíme se zlomků:

\sin ^2x=\cos x *(2-\cos x) # Použijeme vzorec \sin^2x=1-\cos^2x

1-\cos^2x=2\cos x-\cos^2x # 1=2\cos x

# \cos x=1/2 # x_{\scriptstyle\text{1}}=\frac{\pi}{6}+2k\pi

x_{\scriptstyle\text{2}}=\frac{11\pi}{6}+2k\pi # Rovnice vyřešena

Vybrané (nejpoužívanější) vzorce

Záporné hodnoty úhlů ** \sin(-\alpha) = - \sin \alpha\,\. ** \cos(-\alpha) = \cos \alpha\,\. +more ** \mathrm{tg}(-\alpha) = - \mathrm{tg}\,\alpha\,\. ** \mathrm{cotg}(-\alpha) = - \mathrm{cotg}\,\alpha\,\. * Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu ** \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\,\. ** \mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{cotg}\,\alpha = 1\,\. ** \textrm{tg}\, \alpha = \frac {\sin \alpha} {\cos \alpha}\,\. ** \textrm{cotg}\, \alpha = \frac {\cos \alpha} {\sin \alpha}\,\. ** \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} ** \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} ** \textrm{tg}\, \alpha = \frac {1}{\textrm{cotg}\, \alpha} \,\. * Dvojnásobný úhel ** \sin 2\alpha = 2\cdot \sin \alpha \cos \alpha\,\. ** \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\,\. * Poloviční úhel ** \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\,\. ** \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\,\. * Mocniny goniometrických funkcí ** \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha) ** \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha) * Goniometrické funkce součtu a rozdílu úhlů ** \sin \left(\alpha \pm \beta\right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\,\. ** \cos \left(\alpha \pm \beta\right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,\.

Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech

Jednotková kružnice

Související články

Goniometrie * Goniometrické funkce * Kvadrant (geometrie) * Jednotková kružnice * Substituce (matematika) * Rovnice * Kvadratická rovnice

Reference

Kategorie:Goniometrie