Cesko.wiki Hyperbolický tangens
Author
Albert FloresGraf hyperbolického tangens Hyperbolický tangens (tangens hyperbolicus) je hyperbolická funkce. Značí se \tanh, dříve \operatorname{tgh}.
Definice
Hyperbolický tangens je definován jako podíl hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu: : \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}. Definice platí i pro komplexní argument. +more Pomocí ryze imaginárního úhlu jej lze definovat jako : \tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \. , kde {\rm{i}} je imaginární jednotka.
Vlastnosti
\tanh je rostoucí funkce
* Definiční obor funkce : D\bigl(\tanh \bigr)= \mathbb{R}
* Obor hodnot funkce : H\bigl(\tanh \bigr)=\bigl(-1,+1 \bigr)
* Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka : \tanh(-x) = -\tanh x.
* Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí: : \tanh(x+y) = \frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot\tanh(y)} : \tanh(2x) = \frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)} : \tanh\frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}(\cosh(x)-1)}
* Inverzní funkcí k hyperbolickému tangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického tangens (artanh x): : \mbox{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right), kde |x|
* Derivace hyperbolického tangens: : \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,
* Neurčitý integrál: : \int \tanh x dx = \ln(\cosh x).
