Kvantový harmonický oscilátor

Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. +more Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoru

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii V(x), která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. +more Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál V(x) zapíšeme jako : V(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako :\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,.

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar :\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2} x^2 \right) \Psi (x) = E \Psi (x)

Vynásobíme-li celou rovnici \frac{2}{\hbar \omega} , získáme :\left(-\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega}{\hbar} x^2 \right) \Psi (x) = \frac{2E}{\hbar\omega} \Psi (x)

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny :\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\, :\lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}\,

rovnice přejde ve tvar :\left(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - \xi^2 \right) \Psi (\xi) = -\lambda \Psi(\xi)\,.

Po úpravě dostaneme :\frac{\partial^2 \Psi(\xi)}{\partial \xi^2} + (\lambda-\xi^2) \Psi(\xi) = 0 \,.

Odhad řešení v asymptotické oblasti

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci \Psi budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. +more Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce \Psi v asymptotické oblasti (\xi\to\pm\infty). Pro hodnoty \xi\to\pm\infty lze \lambda v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar :\frac{\partial^2 \Psi(\xi)}{\partial \xi^2} - \xi^2 \Psi(\xi) = 0 \,.

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde A a B jsou libovolné konstanty. :\Psi(\xi) = A\exp(\frac{-\xi^2}{2}) + B\exp(\frac{\xi^2}{2}).

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce \Psi diverguje pro (\xi\to\pm\infty) a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí :\Psi(\xi) \approx A\exp(\frac{-\xi^2}{2}).

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty \xi, znamená předpokládat, že A na \xi závisí. +more To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru :\Psi(\xi) = A(\xi) \exp (-\frac{\xi^2}{2} )\,.

kde A(\xi) je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu \exp\left(\frac{-\xi^2}{2}\right) dosazením předešlé rovnice pro \Psi získáme novou rovnici pro neznámou funkci A(\xi) :\frac{\partial^2 A}{\partial \xi^2} - 2\xi\frac{\partial A}{\partial \xi} + (\lambda-1)A = 0\,.

Funkci A(\xi) budeme hledat ve tvaru mocninné řady :A(\xi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k \,.

Neznámé koeficienty a_k pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro A do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami \xi^k. Po jistém úsilí získáme :a_k = \frac{(1-\lambda)(5-\lambda) \dots (2k-3-\lambda)}{k. +more}a_0 \, pro k = 2, 4, 6, … :a_k = \frac{(3-\lambda)(7-\lambda) \dots (2k-3-\lambda)}{k. }a_1 \, pro k = 3, 5, 7, ….

Protože A je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách a_0 a a_1. Ukazuje se však, že nekonečná řada A(\Psi) se pro velká \lambda chová jako funkce \exp\left(\frac{-\xi^2}{2}\right) , což znamená, že vlnová funkce \Psi(\xi) = A(\xi)\exp(-\frac{\xi^2}{2}) pro (\xi\to\pm\infty) diverguje. +more Funkce A(\xi) proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce A(\xi) tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým k platí a_{k+2} = 0 a pro dosud libovolné \lambda musí splňovat podmínku :\lambda = 2n+1 \, pro n=0,1,2,.

Energetické spektrum

S ohledem na předešlý vztah a rovnici \lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru

:E_n = \frac{\hbar\omega\lambda}{2} = \hbar\omega\frac{2n+1}{2} = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \,.

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru

Ze vztahu E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem. * Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). +more Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní. * Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže. * Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně. * Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice. * Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde E. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

Související články

Potenciálová bariéra * Potenciálová jáma * Volná částice

Reference

Externí odkazy

Ondřej Kučera: [url=http://upload. wikimedia. +moreorg/wikipedia/commons/c/cd/Srovn%C3%A1n%C3%AD_klasick%C3%A9ho_a_kvantov%C3%A9ho_oscil%C3%A1toru. pdf]Srovnání klasického a kvantového oscilátoru[/url], 19. prosince 2010 [url=http://fai. utb. cz]fai. utb. cz[/url] * Simulační applet: [url=http://phet. colorado. edu/en/simulation/bound-states]Kvantový harmonický oscilátor[/url], University of Colorado.

Kategorie:Kvantová fyzika