Norma (matematika)

Norma je pozitivně homogenní, subaditivní a pozitivně definitní funkce, která každému nenulovému vektoru z nějakého vektorového prostoru přiřazuje reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. Podobná je seminorma, u které se však nepožaduje pozitivní definitnost, takže se připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Definice

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

* pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V; * subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní: * p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

Příklady

Každá norma je seminorma. * Absolutní hodnota je norma na reálných číslech. +more * Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.

Eukleidovská norma

Na prostoru \mathbb{R}^n lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, . +more, xn) jako :\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}. Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-norma

Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.

:\|\textbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}. Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová norma

:\|\textbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).

Norma na prostoru se skalárním součinem

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu :\|x\| := \sqrt{(x,x)}. Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho-Schwarzova nerovnost : |(x,y)| \leq \|x\| \, \|y\|.

Vlastnosti

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že :C\|x\|_\alpha\leq\|x\|_\beta\leq D\|x\|_\alpha pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. +more Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•||∞ jsou ekvivalentní na prostoru \mathbb{R}^n: :\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2, :\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty, :\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty.

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) C známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná :\mu_C(x) := \inf\{\alpha : \alpha > 0, x \in \alpha C\}. +more Pro tuto seminormu platí :\{x : \mu_C(x).

Související články

normovaný lineární prostor * metrický prostor * Eukleidovský prostor * determinant

Externí odkazy

Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Unární operátory