Paprsková rovnice

Paprskovou rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}),

kde s je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že \frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} je vždy kolmá na \frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s} (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right|.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku \frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s} v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li \nabla n =0, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x, y platí

n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.

Což lze přepsat pomocí úhlu \alpha, který paprsek svírá s osou y do tvaru

n(y) \sin \alpha = konst.

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2

Kategorie:Rovnice Kategorie:Optika