Pentace

Pentace (nebo také hyper-5) je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením tetrace. Zatímco mocnění je vlastně opakované násobení a tetrace opakované mocnění, pentace je opakovaná tetrace. Opakovaná pentace je poté hexace. Pentace je tedy definována jako iterovaná neboli opakovaná tetrace, stejně jako je tetrace opakované umocňování. Jedná se o binární operaci definovanou dvěma čísly a a b, kde a je b − 1 krát tetrováno sebou samým. Například při použití hyperoperačního zápisu pro pentaci a tetraci 2[5]3 znamená tetrování 2 dvakrát, neboli 2[4](2[4]2). To lze poté redukovat na 2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.

Pentace může být zapisována například pomocí knuthova šipkového zápisu.

Znázornění

: a\uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{{}^{ {}^{ {}^{ {}^{ {}^a \cdot} \cdot} \cdot} a} a}_{b\text{ opakování }a} = \underbrace{a\,\uparrow\uparrow\,(a\,\uparrow\uparrow\,(\dots\,\uparrow\uparrow\,a))}_{b\text{ opakování }a}.

Příklady

: \begin{align} 3\uparrow\uparrow\uparrow2 &= 3\uparrow\uparrow3 = {}^33 = \\ & = 3\uparrow(3\uparrow3) = 3^{3^3} = 3^{27}=7 625 597 484 987 \\ \end{align}

Velikost čísel opravdu velmi rychle roste:

: \begin{align} 3\uparrow\uparrow\uparrow3 &= 3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3) = {}^{ {}^3 3} 3 = {}^{7 625 597 484 987}3 = \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow(3\uparrow3)) = \underbrace{3\uparrow(3\uparrow(\dots\uparrow 3))}_{3\uparrow(3\uparrow3)=7 625 597 484 987\text{ opakování }3} = \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}_{3\uparrow(3\uparrow3)\text{ opakování }3} \approx \exp_{10}^{7 625 597 484 986}(1{,}099 02) \end{align}

Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10102184 číslic:

:5 \uparrow\uparrow\uparrow2 = 5\uparrow\uparrow5 = {^{5}5} = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx 10^{10^{10^{10^{3,33928}}}} = \exp_{10}^4(3{,}33928).

Reference

Kategorie:Mocniny Kategorie:Matematické symboly Kategorie:Matematické operace