Tetrace

Tetrace je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením umocňování. Zatímco násobení je vlastně opakované sčítání a umocňování opakované násobení, tetrace je opakované umocňování. Opakovaná tetrace se nazývá pentace.

Označování

Tetrace se může zapsat dvěma způsoby, kterými jsou horní index vlevo, např. 32 = 222, nebo Knuthův zápis pomocí operátoru „dvou šipek“ ↑↑. +more Obecně se tetrace zapisuje takto:.

: a\uparrow\uparrow b = {\ ^{b}a} = \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_{b\text{ opakování }a} = \underbrace{a\uparrow (a\uparrow(\dots\uparrow a))}_{b\text{ opakování }a}.

Příklady

Hodnota tetrace je „velmi rychle rostoucí“:

: 4\uparrow\uparrow 3 = {\ ^{3}4} = \underbrace{4^{4^4}}_{3\text{ opakování }4} = \underbrace{4\uparrow (4\uparrow 4)}_{3\text{ opakování }4} = 4^{256} \approx 1{,}3\times 10^{154}

:3\uparrow\uparrow2=3^3=27

:3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7 625 597 484 987

:3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7 625 597 484 987}

:3\uparrow\uparrow5=3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7 625 597 484 987}}

Rozšíření

Podobně jako z umocňování vzniká tetrace, vzniká také z tetrace pentace:

: a\uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{{}^{ {}^{ {}^{ {}^{ {}^a \cdot} \cdot} \cdot} a} a}_{b\text{ opakování }a} = \underbrace{a\,\uparrow\uparrow\,(a\,\uparrow\uparrow\,(\dots\,\uparrow\uparrow\,a))}_{b\text{ opakování }a}.

Příklady:

: \begin{align} 3\uparrow\uparrow\uparrow2 &= 3\uparrow\uparrow3 = {}^33 = \\ & = 3\uparrow(3\uparrow3) = 3^{3^3} = 3^{27}=7 625 597 484 987 \\ \end{align}

Velikost čísel opravdu velmi rychle roste:

: \begin{align} 3\uparrow\uparrow\uparrow3 &= 3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3) = {}^{ {}^3 3} 3 = {}^{7 625 597 484 987}3 = \\ & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow(3\uparrow3)) = \underbrace{3\uparrow(3\uparrow(\dots\uparrow 3))}_{3\uparrow(3\uparrow3)=7 625 597 484 987\text{ opakování }3} = \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}_{3\uparrow(3\uparrow3)\text{ opakování }3} \approx \exp_{10}^{7 625 597 484 986}(1{,}099 02) \end{align}

Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10102184 číslic:

:5 \uparrow\uparrow\uparrow2 = 5\uparrow\uparrow5 = {^{5}5} = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx 10^{10^{10^{10^{3,33928}}}} = \exp_{10}^4(3{,}33928).

Externí odkazy

Kategorie:Mocniny Kategorie:Matematické symboly