Redukce řádu

Redukce řádu je v matematice technika pro řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu. Používá se, když známe jedno řešení y_1(x), a potřebujeme najít druhé lineárně nezávislé řešení y_2(x). Metodu lze použít i pro rovnice n-tého řádu. V tomto případě lze kvalifikovaným odhadem získat rovnici (n-1)-ho řádu pro v.

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Příklad

Uvažujme obecnou homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

: a y(x) + b y'(x) + c y(x) = 0, \;

kde a, b, c jsou reálné nenulové koeficienty, Navíc budeme předpokládat, že její charakteristická rovnice

: a \lambda^{2} + b \lambda + c = 0 \;

má vícenásobný kořen (tj., že diskriminant b^2 - 4 a c se rovná 0). Z toho plyne

: \lambda_1 = \lambda_2 = -\frac{b}{2 a}.

Tedy jedno řešení původní diferenciální rovnice je

:y_1(x) = e^{-\frac{b}{2 a} x}.

Budeme hledat druhé řešení ve tvaru

:y_2(x) = v(x) y_1(x) \;

kde v(x) je hledaná funkce. Protože y_2(x) musí vyhovovat původní obyčejné diferenciální rovnici, dosadíme řešení do rovnice a dostaneme

: a \left( v y_1 + 2 v' y_1' + v y_1 \right) + b \left( v' y_1 + v y_1' \right) + c v y_1 = 0.

Přeskládáním členů podle řádu derivace v(x) dostaneme

: \left(a y_1 \right) v + \left( 2 a y_1' + b y_1 \right) v' + \left( a y_1 + b y_1' + c y_1 \right) v = 0.

Protože víme, že y_1(x) je řešením původní úlohy, koeficient posledního termu se rovná nule. Navíc substitucí y_1(x) do koeficientu druhého termu dostaneme (pro tento koeficient)

:2 a \left( - \frac{b}{2 a} e^{-\frac{b}{2 a} x} \right) + b e^{-\frac{b}{2 a} x} = \left( -b + b \right) e^{-\frac{b}{2 a} x} = 0.

Takže dostáváme

: a y_1 v = 0. \;

Protože a je nenulové (aby původní rovnice byla druhého řádu) a y_1(x) je exponenciální funkce, která nikdy nenabývá hodnoty nula, jednoduše dostáváme

: v = 0. \;

Dvojí integrací dostaneme

: v(x) = c_1 x + c_2 \;

kde c_1, c_2 jsou integrační konstanty. Nyní můžeme druhé řešení zapsat jako

: y_2(x) = ( c_1 x + c_2 ) y_1(x) = c_1 x y_1(x) + c_2 y_1(x). \;

Protože druhý term v y_2(x) je skalárním násobkem prvního řešení (a je tedy lineárně závislý), můžeme tento term zahodit, což dává výsledné řešení

: y_2(x) = x y_1(x) = x e^{-\frac{b}{2 a} x}.

Navíc můžeme dokázat, že druhé řešení y_2(x) nalezené touto metodou je lineárně nezávislé na prvním řešení výpočtem Wronskiánu

:W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & x y_1 \\ y_1' & y_1 + x y_1' \end{vmatrix} = y_1 ( y_1 + x y_1' ) - x y_1 y_1' = y_1^{2} + x y_1 y_1' - x y_1 y_1' = y_1^{2} = e^{-\frac{b}{a}x} \neq 0.

Tedy y_2(x) je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Obecná metoda

Je-li dána obecná nehomogenní lineární diferenciální rovnice

:y+p(t)y'+q(t)y=r(t)\,

a jedno řešení y_1(t) homogenní rovnice [r(t)=0], zkusíme hledat řešení plné nehomogenní rovnice ve tvaru:

:y_2=v(t)y_1(t)\,

kde v(t) je libovolná funkce. Tedy

:y_2'=v'(t)y_1(t)+v(t)y_1'(t)\,

a

:y_2=v(t)y_1(t)+2v'(t)y_1'(t)+v(t)y_1(t).\,

Jestliže tyto jsou dosadíme za y, y' a y v diferenciální rovnici, pak

:y_1(t)\,v+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'+(y_1(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t))\,v=r(t).

Protože y_1(t) je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, y_1(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0, můžeme se omezit na

:y_1(t)\,v+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'=r(t)

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro v'(t) (redukce řádu). Vydělením výrazem y_1(t) dostaneme

:v+\left(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t)\right)\,v'=\frac{r(t)}{y_1(t)}.

Integrační faktor: \mu(t)=e^{\int(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t))\mathrm{d}t}=y_1^2(t)e^{\int p(t) \mathrm{d}t}.

Znásobením diferenciální rovnice integračním faktorem \mu(t) lze rovnici pro v(t) redukovat na :\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v'(t) y_1^2(t) e^{\int p(t) \mathrm{d}t})=y_1(t)r(t)e^{\int p(t) \mathrm{d}t}.

Zintegrováním poslední rovnice dostaneme v'(t) obsahující jednu integrační konstantu. Dalším zintegrováním v'(t) dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, které obsahuje dvě integrační konstanty, jak je očekáváno:

:y_2(t)=v(t)y_1(t)\, .

Související články

Variace konstant

Reference

W. E. +more Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc. , 2005. . * * Eric W. Weisstein, [url=http://mathworld. wolfram. com/Second-OrderOrdinaryDifferentialEquationSecondSolution. html]Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution[/url], From MathWorld-A Wolfram Web Resource.

Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice