Cesko.wiki Sčítání matic
Author
Albert FloresV matematice je součet matic binární operace na množině matic stejného typu definovaná sčítáním po složkách, tj. sečtením prvků na odpovídajících pozicích. Existují ale i další operace, které lze považovat za formu součtu matic a to #direktní součet|direktní součet a #Kroneckerův součet|Kroneckerův součet.
Součet po prvcích
Standardní součet matic je definován pro dvě matice stejných rozměrů. Součet dvou matic \boldsymbol A a \boldsymbol B typu m \times n je opět matice typu m \times n , která je vypočtena součtem prvků na stejných pozicích. +more Značí se \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} a formálně je definována vztahem (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})_{ij}= a_{ij}+b_{ij}. Rozepsáno podrobněji: :\begin{align} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} & = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} +.
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\ \end{pmatrix} \\
\end{align}\,\!
Například:
: \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}
Matice stejného typu lze i vzájemně odečítat. Rozdíl matic \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} je dán rozdíly prvků matic \boldsymbol A a \boldsymbol B na odpovídajících pozicích, čili (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})_{ij}= a_{ij}-b_{ij}. +more Vzhledem k tomu, že rozdíl je zvláštním případem součtu: \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}+ (-1)\boldsymbol{B} , má výsledná matice stejné rozměry jako \boldsymbol A i \boldsymbol B . Například:.
: \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0 & 3-0 \\ 1-7 & 0-5 \\ 1-2 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -6 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
{{Kotva|directsum}}Direktní součet
Další operace, která se používá méně často, je přímý součet (zápis ⊕). Kronekerův součet se též značí ⊕; rozdíl by měl být zřejmý. +more Přímý součet jakékoli dvojice matic \boldsymbol A typu m \times n a \boldsymbol B typu p \times q je matice typu (m+p) \times (n+q) a definována vztahem.
: \boldsymbol{A} \oplus \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{pmatrix}
Například,
: \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Přímý součet matic je speciální typ blokové matice, konkrétně přímý součet čtvercových matic je bloková diagonální matice.
Přímý součet n matic je dán vztahem: : \bigoplus_{i=1}^{n} \boldsymbol{A}_{i} = {\rm diag}( \boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3 ,\dots, \boldsymbol{A}_n)= \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{A}_n \\ \end{pmatrix}\,\!,
kde nuly značí nulové matice odpovídajících rozměrů.
Například matice sousednosti sjednocení disjunktních grafů nebo multigrafů je přímým součtem matic sousedností grafů v sjednocení.
Kroneckerův součet
Kroneckerův součet se liší od přímého součtu, ale používá stejnou značku ⊕. Definuje se použitím Kroneckerova součinu ⊗ a normálního maticového součtu. +more Pokud \boldsymbol A je typu n\times n, \boldsymbol B je typu m\times m a \mathbf{I}_k označuje jednotkovou matici k\times k, pak Kroneckerův součet matic je definován předpisem: : \boldsymbol{A} \oplus \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \boldsymbol{B}.
Odkazy
Reference
Literatura
[url=http://petr. olsak. +morenet/ftp/olsak/linal/linal. pdf]Petr Olšák: Lineární algebra[/url] * [url=https://matematika. cuni. cz/zahradnik-pla. html]Luboš Motl, Miloš Zahradník: Pěstujeme lineární algebru[/url].
Související články
Externí odkazy
Česky: * http://www.matweb.cz/matice * https://web.archive.org/web/20120607033247/http://matematika-online-a.kvalitne.cz/matice.htm
Anglicky: * [url=http://ncalculators. com/matrix/4x4-matrix-addition-subtraction-calculator. +morehtm]4x4 Matrix Addition and Subtraction[/url] * [url=http://drexel28. wordpress. com/2010/12/22/direct-sum-of-linear-transformations-and-direct-sum-of-matrices-pt-iii/]Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices[/url] * [url=http://www. mymathlib. com/matrices/arithmetic/direct_sum. html]Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations[/url] * [url=https://web. archive. org/web/20120514184901/http://www. aps. uoguelph. ca/~lrs/ABMethods/NOTES/CDmatrix. pdf]Matrix Algebra and R[/url].