Složené úročení

Technology

12 hours ago

Author

exponenciální růst. Složené úročení vzniká přičítáním úroku k jistině, což je typický případ u spoření (nebo u dluhu pokud je splacen až na konci půjčky v celé výši). Jde tedy o výsledek přidání úroku k investovanému či zapůjčenému kapitálu místo toho, aby byl vyplacen investorovi nebo zaplacen dlužníkem. Úrok se tak v příštím období skládá z jistiny a k tomu dříve nahromaděnému úroku. Složené úročení je standardním nástrojem finančnictví a ekonomie.

Protože úrokovací doba tvoří u složeného úročení několik za sebou následujících úrokovacích období, úrok se tím neustále násobí, což znamená to neustále se zrychlující růst (viz exponenciální funkce). Tento efekt je využíván ke zhodnocování úspor, ale i zneužíván k lichvě. +more Zvyšování frekvence úročení zvyšuje i dosažitelný zisk (o úroky z úroků), ale jen limitně do určité výše (viz Eulerovo číslo).

Aplikace

Více úrokovacích období

Pokud uložíme 35 000 Kč na spořící účet s ročním úrokem 5,7 % (navýšení o 5,7 % znamená vynásobení číslem 1,057) a banka bude úročit pouze jedenkrát ročně (na výročí počátku spoření), bude stav spořícího účtu po jednotlivých letech (neuvažujeme zdanění úroku):

* 0. rok: vklad 35 000 Kč * 1. +more rok: stav z minulého roku + úrok za jeden rok: 35000 × 1,057 = 36955 Kč * 2. rok: stav z minulého roku + úrok za jeden rok: 36955 × 1,057 ≐ 39103,72, tj. po dosazení z minulého roku: 35000 × 1,057 × 1,057 = 35000 × 1,0572 ≐ 39103,72 Kč * 3. rok: 35000 × 1,057 × 1,057 × 1,057 = 35000 × 1,0573 ≐ 41332,63 Kč * 4. rok: 35000 × 1,0574 ≐ 43688,59 Kč * 5. rok: 35000 × 1,0575 ≐ 46178,84 Kč * atd. * 20. rok: 35000 × 1,05720 ≐ 106063,95 Kč.

Častější úročení

Pokud uložíme 35 000 Kč na spořící účet s ročním úrokem 5,7 % (navýšení o 5,7 % znamená vynásobení číslem 1,057) a banka bude úročit vícekrát ročně, bude výše vkladu po jednom roku o něco vyšší než při úročení pouze jedenkrát ročně (srovnejte s předchozím příkladem). Každý měsíc se bude připisovat pouze dvanáctina ročního úroku (proto je v závorce zlomek). +more Stav spořícího účtu při úročení po jednotlivých měsících (neuvažujeme zdanění úroku) bude: * 0. měsíc: vklad 35 000 Kč * 1. měsíc: stav z minulého měsíce + úrok za jeden měsíc: 35000 \sdot \biggl(1 + \frac {0,057}{12} \biggr) = 35166,25 * 2. měsíc: stav z minulého měsíce + úrok za jeden měsíc: 35166,25 \sdot \biggl(1 + \frac {0,057}{12} \biggr) = 35333,29, tj. po dosazení z minulého měsíce: ::35000 \sdot \biggl(1 + \frac {0,057}{12} \biggr) \sdot \biggl(1 + \frac {0,057}{12} \biggr) = 35000 \sdot \biggl(1 + \frac {0,057}{12} \biggr)^{2} \doteq 35333,29 * 3. měsíc: 35000 \sdot \biggl( 1 + \frac {0,057}{12} \biggr)^{3} \doteq 35501,12 * atd. * 12. měsíc: 35000 \sdot { \biggl( 1 + \frac {0,057}{12} \biggr) }^{12} \doteq 37047,95.

Ještě častější úročení

Častější úročení způsobí, že na konci roku je k dispozici větší částka, protože se častěji a déle započítávají i úroky z úroků. Narůstání částky se však limitně blíží určité částce (viz Eulerovo číslo) bez ohledu na to, jak moc často úročíme.

* úročení každý týden: 35000 \sdot { \biggl( 1 + \frac {0,057}{52} \biggr) }^{52} \doteq 37051,80 * úročení každý den: 35000 \sdot { \biggl( 1 + \frac {0,057}{365} \biggr) }^{365} \doteq 37052,79 * úročení každou hodinu: 35000 \sdot { \biggl( 1 + \frac {0,057}{8760} \biggr) }^{8760} \doteq 37052,946 * úročení každou minutu: 35000 \sdot { \biggl( 1 + \frac {0,057}{525600} \biggr) }^{525600} \doteq 37052,953 * úročení každou vteřinu: 35000 \sdot { \biggl( 1 + \frac {0,057}{31536000} \biggr) }^{31536000} \doteq 37052,953

Finanční matematika

Ve finanční matematice existují určitá typická výpočetní schémata a k nim vztažené termíny podobně jako zmíněný úročitel nebo odúročitel. * Úročitel - vyjadřuje budoucí hodnotu vkladu vloženého na určité období, za určitou úrokovou sazbu * Odúročitel (opak úročitele) - pokud známe hodnotu vkladu, který se po určitou dobu úročil za známou úrokovou sazbu, tak pomocí odúročitele vypočítáme původní hodnotu vkladu na počátku → současnou hodnotu * Střadatel - pomocí střadatele vypočítáme budoucí hodnotu pravidelné úložky, která je ukládána ve stejné výši po určitou dobu za určitou úrokovou sazbu * Fondovatel (opak střadatele) - vyjadřuje, jakou pravidelnou úložku bychom měli ukládat během určitého období se známou úrokovou sazbou, abychom uspořili cílovou částku * Zásobitel - vyjadřuje, jaký vklad bychom dnes měli vložit, aby nám po určité období plynuly pravidelné částky (renta) * Umořovatel (opak zásobitele) - pomocí umořovatele se stanovuje anuita, kterou umořujeme úvěr, známe-li počet období a úrokovou sazbu úvěru. +more Většina splátek úvěrů pro občany je počítána pomocí umořovatele.

Význam proměnných

Úrokovací doba je označována písmenem t a ve složeném úročení nabývá hodnoty počtů úrokovacích období (1, 2, 3, …, n): * pokud je hodnota menší než 1, označuje se jako jednoduché úročení, * pokud je hodnota celočíselná a větší než 1, jde o složené úročení, * pokud hodnota není celočíselná, ale je zároveň větší než 1, jde o kombinované úročení. Dále: * počáteční jistina má zkratku j_o a jde o částku počátečního, základního vkladu, tedy základu 100 %, * zvětšená jistina má zkratku j_t a jde o částku zvětšenou o úrok, * úrok označený písmenem \acute{u} je peněžní částka, kterou platí dlužník věřiteli za poskytnutí peněžních prostředků. +more * úroková sazba značená ve vzorci písmenem i je uvedena ve finančních tabulkách a odpovídá sazbě v procentech a je k ní uvedena délka úrokovacího období.

Vzorce

Základní vztah složeného úročení je j_t = j_o \cdot (1+i)^t

* výraz (1+i)^t je takzvaný úročitel r^t

* zvětšenou jistinu spočteme tak, že počáteční jistinu násobíme příslušným úročitelem r^t * úrok je zde tedy jako rozdíl mezi zvětšenou částkou a počáteční jistinou: \acute{u} = j_t - j_o

Výsledný celkový úrok spočítáme tak, že počáteční jistinu násobíme úročitelem zmenšeným o jedničku (tj. o původní základní vklad): j_o = \frac{\acute{u}}{r^{t}-1}

Pokud naopak známe zvětšenou jistinu (peníze po zúročení - tedy částku včetně úroku) a chceme spočítat počáteční jistinu, pak: j_o = \frac{j_t}{r^{t}} (této operaci říkáme odúročení; tj. převrácená hodnota úročitele je odúročitel).

Příklady

Výnos složeného úročení

Předpokládejme, že před 2000 lety byla do banky vložena 1 Kč s úrokovou sazbou 1 %. Po jednom roce bude výnos o 1 % více než jedna koruna, tedy přesně 1,01 Kč. +more Druhý rok bude úrok spočítán jako 1 % z 1,01 Kč. Výnos tedy bude 1,01 \cdot 1,01 = 1{,}01^2. Po třech letech výnos bude 1,01 \cdot 1,01 \cdot 1,01 = 1{,}01^3. Po 2000 letech vzroste vstupní částka 1 Kč na 1{,}01^{2000} Kč, což je takřka 440 milionů Kč.

Délka úročení

V bance je uloženo 50000 Kč s ročním úrokem 3 %. Za jak dlouho bude v bance 75000 Kč (neuvažujte zdanění úroků)?

Při řešení této úlohy je nutné použít logaritmus a pravidla pro počítání s logaritmy, protože neznámá je v exponentu mocniny. Pokud je úrok 3 %, pak za rok bude v bance 50000 \cdot 1,03 = 51500, po dvou letech to bude 50000 \cdot 1,03^2 = 53045, po třech letech 50000 \cdot 1,03^3 = 54636,35 atd. +more Počet let je tedy v mocnině, ale ten my neznáme. Víme však cílovou částku, takže můžeme zapsat rovnici: 75000 = 50000 \cdot 1,03^x .

* rovnici vydělíme 1000: 75 = 50 \cdot 1,03^x * rovnici zlogaritmujeme: \log {(75)} = \log {(50 \cdot 1,03^x)} * použijeme pravidlo součtu logaritmů: \log{(75)} = \log{(50)} + \log {(1,03^x)} * použijeme pravidlo mocniny v logaritmu: \log{(75)} = \log{(50)} + x \cdot \log {(1,03)} * upravíme rovnici: x \cdot \log {(1,03)} = \log{(75)} - \log{(50)} * vyjádříme neznámou: x = \frac {\log{(75)} - \log{(50)}}{\log {(1,03)}} * vyčíslíme: x \dot = 13,72

Odpověď: V bance bude 75000 Kč za 14 let.