Stavový popis systému

Stavový popis systému se používá pro systémy s více vstupy a výstupy, tzv. MIMO systémy. Používá se maticový zápis. Tento článek se zabývá stavovým popisem systému, který vzejde z linearizace typicky nelineárních diferenciálních rovnic v okolí takzvaného pracovního bodu, který bývá ekvilibriem. Poté stavový popis dobře popisuje chování systému jen v okolí tohoto pracovního bodu lineární aproximací, což se dá použít pro lineární řízení.

Pojmy

Stav systému - Je to nejmenší počet stavových proměnných, určuje ho stavový vektor * Stavový vektor - Jde o sloupcový vektor často značený \mathbf{x}(t), jehož složky tvoří stavové proměnné * Stavové proměnné - Jde o časové funkce, které určují stav dynamického systému * Stavový prostor - n-rozměrný prostor reálných čísel \mathcal{R}^n * Vektor vstupů - Jde o sloupcový vektor \mathbf{u}(t) * Vektor výstupů - Jde o sloupcový vektor \mathbf{y}(t) * Stavové rovnice - Určují vazbu mezi stavem a vstupy a výstupy systému. Jsou dvě, zde popsané jsou lineární, časově invariantní. +more * Stavová trajektorie - Stav je vektor, jehož poloha se mění a na konci vytváří křivku.

První stavová rovnice

Umožňuje vazbu derivace stavové proměnné na libovolný vstup nebo výstup. Rovnice je :\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t)

Druhá stavová rovnice

Určuje vztah mezi vektorem výstupu a vektorem vstupu a vektorem stavu :\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t)

Koeficienty rovnic

Obecné stavové schéma systému :\mathbf{A} - matice vnitřních vazeb systému (matice systému) :\mathbf{B} - matice vazeb systému na vstup (matice řízení) :\mathbf{C} - matice vazeb výstupu na stav :\mathbf{D} - matice vazeb vstupu na výstup. +more Z hlediska dynamických vlastností je vliv zanedbatelný a považuje se často za nulový.

Určení matice přenosových funkcí ze stavového popisu

Jde o jednoznačný převod, v podstatě se jedná o řešení obou stavových rovnic po provedení Laplaceovy transformace. Matice \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} a \mathbf{D} jsou známé. +more Matice \mathbf{I} \in \mathcal{R}^{n\times n} je jednotková matice. Řešením je rovnice :\mathbf{G}(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)} = \mathbf{C}{(s \mathbf{I} - \mathbf{A})}^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D} = \mathbf{C} \frac{1}{\mathrm{det}{(s \mathbf{I} - \mathbf{A})}} {\mathrm{adj}{(s \mathbf{I} - \mathbf{A})}} \mathbf{B} + \mathbf{D}.

Výraz \mathrm{det}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}) nazveme charakteristickým polynomem systému a kořeny tohoto polynomu nazveme póly systému. Poloha těchto pólů v komplexní rovině určuje stabilitu systému (leží-li alespoň jeden pól napravo od imaginární osy, je systém nestabilní).

Určení stavového popisu z jednorozměrných přenosů

Převod není jednoznačný používají se tři algoritmy * Přímé programování * Paralelní programování * Sériové programování

Literatura

I.Švarc, M.Šeda, M.Vítečková. Automatické řízení * P.Blaha, P.Vavřín. Řízení a regulace 1. Skriptum VUT

Kategorie:Kybernetika Kategorie:Teorie systémů