Account App Integration - Responsive Website Template

Array ( [0] => 15481537 [id] => 15481537 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Derivace [uri] => Derivace [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Možná hledáte|jiné= [[Derivace elementárních funkcí]] nebo [[Derivát]]}} [1] => [[Soubor:Tangent to a curve.svg|náhled|upright=1.3|Graf funkce (černě) a její [[tečna]] (červeně). Sklon tečny odpovídá derivaci funkce ve vyznačeném bodě]] [2] => '''Derivace''' je důležitý pojem [[matematická analýza|matematické analýzy]] a základ [[diferenciální počet|diferenciálního počtu]]. Derivace [[funkce (matematika)|funkce]] je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je [[integrál|integrování]]. [3] => [4] => Pojem derivace vznikl v [[17. století]] v pracích [[Isaac Newton|Newtona]] a [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnize]] při řešení [[geometrie|geometrických]] a [[fyzika|fyzikálních]] problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna [[směrnice přímky|směrnici]] [[tečna|tečny]] ke [[Graf funkce|grafu funkce]] v tomto bodě. Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou [[rychlost]]. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je [[zrychlení]]. [5] => [6] => Název derivace je z pozdně-latinského ''derivare'' a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“. [7] => [8] => == Intuitivní výklad == [9] => [[Soubor:Derivative1.png|náhled|upright=2.0|vpravo| ]] [10] => [[Soubor:Derivatesinus.png|náhled|upright=1.6| Derivace funkce sinus v bodě, jako směrnice tečny.]] [11] => Na obrázku je graf funkce, která má v bodě ''x'' hodnotu ''f(x)''. V bodě ''x''+Δ''x'' má hodnotu ''f(x''+Δ''x)'' a spojnice obou bodů tvoří [[sečna|sečnu]] křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr ''(f(x''+Δ''x) - f(x))'' / Δ''x ''. Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δ''x'' až k nule, přejde sečna nakonec v [[tečna|tečnu]]. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme '''směrnicí tečny'''. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě ''x'' křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě ''x'' dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou ''x'', bude derivace rovna nule. [12] => [13] => Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny. [14] => [15] => == Definice derivace == [16] => [[Soubor:What is derivative (animation).gif|náhled|Animace zhruba ukazující, jak hodnota derivace odpovídá „přírůstku“ nebo „úbytku“ funkční hodnoty v jednotlivých bodech.]] [17] => [18] => ==== Historické definice derivace ==== [19] => Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné ''y'' odpovídá změně nezávisle proměnné ''x''. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako [20] => :

\frac{\Delta y}{\Delta x}

. [21] => Derivace je hodnota podílu pro Δ''x'' jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou d''x'', získáme intuitivní definici derivace [22] => :

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

, [23] => což naznačuje poměr dvou [[infinitezimální hodnota|infinitezimálních hodnot]]. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento ([[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizův]]) zápis se čte ''dy podle dx'' a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce ''y'' podle proměnné ''x'', anebo opravdu i jako [[zlomek]]. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako [[Diferenciální forma|diferenciální formy]] anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. [[Nestandardní analýza|nestandardní analýzy]], kterou pěstoval mj. i český matematik [[Petr Vopěnka]]). [24] => [25] => ==== Moderní definice derivace ==== [26] => Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem [[limita|limit]]. Nejběžnější moderní definice derivace je [27] => :

f'(a) = \lim_{h\to 0}{\frac{f(a+h) - f(a)}{h}}= \lim_{x\to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x-a}}.

[28] => [29] => === Zápis derivace === [30] => {{Podrobně|Zápis derivace}} [31] => Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu): [32] => *

f'

''[:f s čárkou:],'' [33] => *

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)

''[:d podle d x z f x:],'' [34] => *

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

''[:d f podle d x:],'' [35] => *

D_x f \quad

''[:d podle x f:],'' [36] => *

f_x

''[:f x:],'' [37] => * [[Isaac Newton|Newtonova]] notace používá tečku nad proměnnou:

\dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x'(t)

, používá se obvykle pouze ve [[fyzika|fyzice]] pro derivování podle proměnné vyjadřující [[čas]] (''t''). [38] => [39] => === [[Diferencovatelnost]] === [40] => Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je [[Limita#Nevlastní limita|limita nevlastní]], pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní. [41] => [42] => Říkáme, že funkce ''f'' je v bodě ''x'' '''[[diferencovatelnost|diferencovatelná]]''', pokud v tomto bodě existuje vlastní derivace. [43] => [44] => Funkce je diferencovatelná na [[interval (matematika)|intervalu]] ''I'', pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu{{Poznámka|Diferencovatelnost na intervale se obvykle uvádí jako diferencovatelnost na otevřeném intervale. Pro popis diferencovatelnosti na uzavřeném intervale (tj. když existují jednostranné derivace v obou krajních bodech) je vhodné explicitně uvést „diferencovatelnost na uzavřeném intervale“. Tato nejednoznačnost samozřejmě odpadá v psané podobě, kdy je na první pohled zřejmé, zda-li autor myslí [45] =>

( a, b )

nebo

\lang a, b \rang

.}}. [46] => [47] => Funkce nemá derivaci v místě, kde není [[spojitá funkce|spojitá]], ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „hrot“, např. funkce [[absolutní hodnota]] v x=0). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. [[Weierstrassova funkce]]). [48] => [49] => === Antiderivace === [50] => Z derivace lze naopak získat původní funkci [[Integrál|integrováním]], pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. [[Počáteční úloha|počáteční podmínku]]). [51] => [52] => == Zobecnění == [53] => [54] => === Parciální derivace === [55] => Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. '''[[parciální derivace]]''', kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů ''d'' se používají symboly ∂, např.:

\frac{\partial f}{\partial y}

značí parciální derivaci funkce

f

podle proměnné

y

. [56] => [57] => === Derivace v normovaných prostorech === [58] => Nechť

X_1, ... , X_n,Y

jsou ''normované prostory'', Říkáme, že zobrazení

f : X_1 \times ... \times X_n \rightarrow Y

je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě

x = (x_1,...,x_n)

i

-té souřadnici pokud zobrazení

f(x_1,...,x_{i-1}, . , x_{i+1},...,x_n):X_i\rightarrow Y, \tilde{x}_i\rightarrow f(x_1,...,x_{i-1},\tilde{x}_i, x_{i+1},...,x_n)

(tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě

x_i

. [59] => [60] => === Derivace ve směru === [61] => Pro funkci více proměnných je '''derivace ve směru''' vektoru '''v''' definována vztahem [62] => :

\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.

[63] => Pokud je funkce ''f'' v bodě '''x''' [[diferencovatelnost|diferencovatelná]], potom platí [64] => :

\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v},

[65] => kde

\nabla f(\mathbf{x})

je [[gradient (matematika)|gradient]] funkce ''f'' v bodě '''x''' a

\cdot

značí [[skalární součin]]. [66] => [67] => Hodnota derivace ve směru vektoru '''v''' záleží na velikosti vektoru |'''v'''|, proto se často vyžaduje, aby |'''v'''| = 1. Někdy se také používá definice, která na velikosti vektoru '''v''' nezávisí: [68] => :

\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h|\mathbf{v}|}}.

[69] => [70] => === Totální (úplná) derivace === [71] => '''[[Totální derivace]]''' je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými. [72] => [73] => === Komplexní derivace === [74] => O [[Komplexní analýza#Komplexní funkce|komplexní funkci]]

f(z)

řekneme, že má v

z_0

derivaci, pokud existuje [[limita]] [75] => :

\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} = f^\prime(z_0)

[76] => [77] => Derivace existuje pouze tehdy, pokud předchozí limita nezávisí na směru, kterým se v [[komplexní rovina|komplexní rovině]] přibližujeme ke komplexnímu bodu

z_0

. Tato podmínka je vyjádřena [[Cauchyho-Riemannovy podmínky|Cauchyho-Riemannovými podmínkami]]. [78] => [79] => Pokud má

f(z)

v bodě

z_0

derivaci, pak je v

z_0

[[spojitá funkce|spojitá]]. [80] => [81] => Komplexní funkci, která má v bodě

z_0

derivaci, označujeme jako '''monogenní''' v bodě

z_0

. [82] => Pokud má

f(z)

derivaci v každém bodě oblasti

\mathbf{G}

, pak říkáme, že je v

\mathbf{G}

''[[holomorfní funkce|holomorfní]]''. [83] => Je-li holomorfní funkce

f(z)

[[víceznačná funkce|víceznačná]], označujeme ji jako [[analytická funkce|analytickou]]. [84] => [85] => === Derivace vektorů a tenzorů === [86] => Derivací [[vektor]]u

\mathbf{v}

podle proměnné ''t'' rozumíme vektor, jehož složky získáme derivací složek vektoru

\mathbf{v}

, tzn. [87] => :

\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t},\cdots,\frac{\mathrm{d}v_n}{\mathrm{d}t}\right)

[88] => [89] => Obdobně postupujeme při derivaci [[tenzor]]ů. [90] => [91] => == Derivace vyššího řádu == [92] => Derivaci funkce

f(x)

, tzn.

f^\prime(x)

, také označujeme jako ''první derivaci'' (''derivaci prvního řádu''). Funkci

f^\prime(x)

lze opět derivovat, čímž získáme ''druhou derivaci'' (''derivaci druhého řádu'') funkce

f(x)

[93] => :

f^{\prime\prime}(x) = {[f^\prime(x)]}^\prime = \lim_{h \to 0} \frac{f^\prime(x+h) - f^\prime(x)}{h}

[94] => [95] => Dalším derivováním můžeme získat vyšší derivace funkce

f(x)

, které značíme

f^{\prime\prime\prime}(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x)

, atd. Používá se také jiné značení, při němž ''n''-tou derivaci značíme jako

f^{(n)}(x), \frac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}

, popř. pro označení derivace v bodě ''a'' lze použít

{\left[\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}\right]}_{x=a}

. [96] => [97] => Někdy je výhodné použít také tzv. nultou derivaci funkce

f(x)

, za niž považujeme samotnou funkci

f(x)

, tzn.

f^{(0)}(x) = f(x)

. [98] => [99] => Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů čtou jako exponenty, např. třetí derivaci

\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}

čteme "d třetí y podle d x na třetí". [100] => [101] => == Derivace neceločíselného řádu, zlomkové derivace == [102] => Definici lze rozšířit i na záporné a „necelé“ řády. Jako přirozené se jeví ztotožnit ''minus první'' derivaci s [[Určitý integrál|integrálem]] [103] =>

f^{(-1)}(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t

[104] => a derivaci ''minus n-tého'' řádu s výrazem [105] =>

f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm{d}t

, [106] => neboť prvním resp. ''n''-tým derivováním dostaneme základní funkci. [107] => Pro nepřirozené ''s''>0 pak jen faktoriál nahradíme [[gama funkce|gama funkcí]]: [108] =>

f^{(-s)}(x) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^x (x-t)^{s-1}f(t)\,\mathrm{d}t

. [109] => [110] => Derivace reálného ''r-tého'' řádu (''r''>0) je pak definována jako [111] => [112] =>

f^{(r)}(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}f^{(r-n)}(x)

, [113] => [114] => kde ''n'' je nejnižší přirozené číslo větší než ''r''; vše za předpokladu, že existuje „vnitřní“ derivace záporného (''r-n'')-tého řádu. [115] => [116] => Pozn.: Nejnižší ''n'' se bere proto, že zatímco pro záporné řády je zajištěna komutativnost a aditivnost (tj. dvě postupně provedené derivace záporného řádu, jestliže existují, jsou ekvivalentní jedné derivaci s řádem daným součtem obou řádů bez ohledu na pořadí), pro kladné řády to obecně neplatí. [117] => [118] => == Výpočty derivací == [119] => Principiálně základní technikou je výpočet přímo z definice, tzn. dosazením příslušné funkce do definující limity a výpočtem této limity. Tento způsob je však obvykle (až na velice jednoduché funkce) dosti komplikovaný a v praxi se nepoužívá. Místo toho se derivace funkcí počítají ze známých derivací několika základních funkcí a jednoduchých [[algebra]]ických pravidel pro jejich skládání a další úpravy. [120] => [121] => === Elementární funkce === [122] => {{Viz též|Derivace elementárních funkcí}} [123] => [124] => === Algebraická pravidla === [125] => Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí: [126] => [127] => * '''Linearita derivace:'''

\left(af + bg\right)' = af' + bg'

pro libovolné funkce ''f'', ''g'' a konstanty ''a'', ''b''. [128] => ** Speciálně platí

\left(af\right)' = af'

a také

\left(f+g\right)' = f'+g'

. [129] => * '''Derivace součinu:'''

\left(fg\right)' = f'g + fg'

pro všechny funkce ''f'', ''g''. [130] => * '''Derivace podílu:'''

\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

pro všechny funkce ''f'', ''g'', kde ''g'' ≠ 0. [131] => * '''Derivace složené funkce:''' Pokud

f\left(x\right) = h\left(g\left(x\right)\right)

, pak

f'(x) = h'(g(x))\cdot g'(x)

. [132] => * '''Derivace [[Inverzní zobrazení|inverzní funkce]]:''' Pokud jsou ''f''(''x'') i ''f''⁻¹(''x'') obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)^{-1}

. [133] => * '''Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné:''' Pokud ''x'' = ''f''(''t'') a ''y'' = ''g''(''t''), pak

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} }{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} } = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}

. [134] => * '''Derivace [[Funkce (matematika)#Způsoby zadání funkce|implicitní funkce]]:''' Pokud ''f''(''x'', ''y'') je implicitní funkce, pak

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial y} }

. [135] => * '''Derivace [[Funkce (matematika)#Způsoby zadání funkce|parametricky zadané funkce]]:''' Je-li funkce vyjádřena parametrickými rovnicemi

x=\varphi(t), y=\psi(t)

, pak pro její derivace platí

y^\prime = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)} = \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}}

[136] => [137] => Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. [[Zlomek#Pravidla|krácení zlomku]]. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem d''x''/d''y'' = ''x''/''y''. [138] => [139] => === Často používané derivace funkcí === [140] => {{Viz též|Derivace elementárních funkcí}} [141] => *

{(\sin x)}^{(n)} = \sin{\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)}

[142] => *

{(\cos x)}^{(n)} = \cos{\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)}

[143] => *

{(x^m)}^{(n)} = m (m-1) \cdots (m - n + 1) x^{m-n} \;

pro

x>0

, ''n'' [[přirozené číslo]] a ''m'' libovolné [144] => *

{(a^x)}^{(n)} = a^x {(\ln a)}^n \;

pro

a>0

[145] => *

{(\mathrm{e}^x)}^{(n)} = \mathrm{e}^x

[146] => *

{(\ln x)}^{(n)} = {(-1)}^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \;

pro

x>0

[147] => *

{(\ln{g(x)})}^\prime = \frac{g^\prime(x)}{g(x)} \;

pro

g(x) > 0

[148] => *

{\left[\ln{|x + \sqrt{x^2 + a}|}\right]}^\prime = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}

pro

a \ne 0, x^2 + a > 0

[149] => *

{\left(\arcsin \frac{x}{a}\right)}^\prime = 
    [150] => \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}, & \mbox{ pro } a>0, |x| a \end{matrix}\right.

[151] => *

{\left[{f(x)}^{g(x)}\right]}^\prime = {f(x)}^{g(x)} \left[g^\prime(x) \ln{f(x)} + \frac{g(x) f^\prime(x)}{f(x)}\right]

[152] => * Derivaci součinu ''n'' funkcí

f_i

lze zapsat jako

{(f_1 f_2 \cdots f_n)}^\prime = f_1 f_2 \cdots f_n \left(\frac{f_1^\prime}{f_1} + \frac{f_2^\prime}{f_2} + \cdots + \frac{f_n^\prime}{f_n}\right)

[153] => * Pro vyjádření ''n''-té derivace součinu dvou funkci

f(x), g(x)

lze použít tzv. ''Leibnizův vzorec'' [154] => :

{(f\cdot g)}^{(n)} = f^{(n)}g^{(0)} + {n \choose 1}f^{(n-1)}g^{(1)} + {n \choose 2} f^{(n-2)}g^{(2)}+ \cdots + f^{(0)}g^{(n)} = \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} f^{(n-k)}g^{(k)}

, [155] => kde

n \choose k

jsou [[kombinační číslo|binomické koeficienty]] a

f^{(0)} = f, f^{(1)} = f^\prime, f^{(2)} = f^{\prime\prime}

, atd. [156] => [157] => === Konkrétní příklady === [158] => * ''f''(''x'') = 3; ''f ′''(''x'') = 0, [159] => * ''f''(''x'') = ''x''; ''f ′''(''x'') = 1, [160] => * ''f''(''x'') = 2''x''; ''f ′''(''x'') = 2 · 1 = 2. [161] => * ''f''(''x'') = 5''x''³; ''f ′''(''x'') = 15''x''²; ''f″''(''x'') = 30''x'' [162] => * ''f''(''x'') = ''e''^''x''; ''f ′''(''x'') = ''e''^''x''. [163] => * ''f''(''x'') = ln ''x''; ''f ′''(''x'') = ''x''⁻¹. [164] => * ''f''(''x'') = ''x''³ + 2''x''² − 5''x'' + 7; ''f ′''(''x'') = 3''x''² + 4''x'' − 5. [165] => * ''f''(''x'') = sin ''x'' · cos ''x''; ''f ′''(''x'') = cos² ''x'' − sin² ''x'' (= cos 2''x''). [166] => *

f(x) = \frac{1}{\arcsin{x}}\,

;

f'(x) = \frac{-1}{(\arcsin{x})^2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }

. [167] => *

f(x) = x^x = e^{x \ln{x} }\,

;

f'(x) = e^{x \ln{x} } \cdot \left( 1\cdot\ln{x} + x\frac{1}{x} \right) = x^x \cdot \left(\ln{x} + 1 \right)

. [168] => [169] => == Aplikace == [170] => Pojem derivace se objevuje v obrovském množství situací, jak v matematice samé, tak i v jejích aplikacích, např. ve [[fyzika|fyzice]]. [171] => [172] => === Lokální extrémy === [173] => {{viz též|Extrém funkce}} [174] => Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký [[lokální extrém]] (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná: [175] => * V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází ''lokální minimum''. [176] => * V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází ''lokální maximum''. [177] => * V bodech, kde je první derivace nulová, se nachází tzv. [[stacionární bod]], který může a nemusí být extrémem. [178] => * (V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.) [179] => [180] => Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná. [181] => [182] => Tato kritéria se často používají v [[Optimalizace (matematika)|optimalizačních úlohách]]. Pokud je např. požadováno najít [[obdélník]], který při zadaném obvodu má maximální plochu, je třeba najít maximum funkce ''f''(''x'') = ''x'' ⋅ (''o''/2 − ''x''). Její derivací je funkce ''f′''(''x'') = ''o''/2 − 2''x'', která je nulová pro ''x'' = ''o''/4. Druhá derivace funkce ''f'' je ''f″''(''x'') = −2, tzn. je všude záporná. V bodě ''x'' = ''o''/4 má tedy funkce ''f'' maximum. Znamená to tedy, že ze všech obdélníků o zadaném obvodu má největší obsah ten, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé, tzn. [[čtverec]]. [183] => [184] => === Analýza chování funkce === [185] => {{viz též|Průběh funkce}} [186] => Předchozí odstavec popisuje způsob, jak pro danou funkci nalézt její lokální extrémy. To může kromě optimalizačních úloh sloužit také k získání přehledu o [[průběh funkce|chování funkce]], např. při ručním náčrtu jejího [[graf funkce|grafu]]. Kromě analýzy extrémů lze využít derivací k následujícím pozorováním: [187] => * V bodech, kde je první derivace kladná, je funkce [[Monotónní funkce#Monotónní funkce|rostoucí]]. [188] => * V bodech, kde je první derivace záporná, je funkce klesající. [189] => * V bodech, kde je druhá derivace kladná, je funkce [[konvexní funkce|konvexní]]. [190] => * V bodech, kde je druhá derivace záporná, je funkce [[konkávní funkce|konkávní]]. [191] => * V bodech, kde je druhá derivace nulová, se mohou vyskytovat [[inflexní bod]]y. [192] => [193] => Z toho lze tedy odvodit například následující poznatky: [194] => * Na intervalech, kde je derivace nulová, je funkce [[konstantní funkce|konstantní]]. [195] => * Na intervalech, kde je derivace numericky blízká k nule, se funkce mění pomalu. [196] => * Na intervalech, kde je derivace kladná a numericky velká, funkce rychle roste. [197] => * Na intervalech, kde je derivace kladná a roste (druhá derivace původní funkce je kladná), původní funkce také roste a její růst se stále zrychluje (rostoucí konvexní funkce). [198] => * Na intervalech, kde je derivace kladná, ale klesá (druhá derivace původní funkce je záporná), původní funkce roste, ale její růst se zpomaluje (rostoucí konkávní funkce). [199] => [200] => === Lineární aproximace === [201] => {{Viz též|Lineární aproximace|Taylorova řada}} [202] => Derivace slouží k nalezení lineární aproximace funkce. Vyšší derivace slouží k nalezení polynomiální aproximace. [203] => [204] => === Fyzika === [205] => Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle ''časové proměnné'', vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické [[kinematika|kinematice]]: [206] => * [[Rychlost]] (''okamžitá rychlost'', koncept ''průměrné rychlosti'' se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času. [207] => * [[Zrychlení]] je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času. [208] => * [[Ryv]] je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času. [209] => [210] => Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích [[fyzikální pole|fyzikálních polí]], [[Maxwellovy rovnice|Maxwellových rovnicích]] atd. [211] => [212] => Derivace podle ''prostorové proměnné'' vyjadřuje rychlost, s jakou se mění proměnná v prostoru. Jedná se o jednorozměrný [[Gradient (matematika)|gradient]]. Například při vedení tepla v tyči je derivace teploty podle polohy mírou nerovnoměrného rozložení teploty podél tyče a udává (pomocí [[Fourierův zákon|Fourierova zákona]]) tok tepla, který je tímto nerovnoměrným rozložením teploty vyvolán. Derivace teploty podle polohy je v jednotkách teploty na jednotku délky, například ve [[Stupeň Celsia|stupních Celsia]] na [[centimetr]]. [213] => [214] => ==== Derivace a středoškolská fyzika ==== [215] => Ve středoškolské fyzice jsou pro jednoduchost často studovány funkce, které jsou dány přímou úměrností. Například dráha [[Přímočarý pohyb|rovnoměrného pohybu]] nebo rychlost [[Rovnoměrně zrychlený pohyb|rovnoměrně zrychleného pohybu]]. V takovém případě dává derivace stejný výsledek jako podíl a díky tomu můžeme určovat [[rychlost]] jako podíl dráhy a času nebo [[zrychlení]] jako podíl změny rychlosti a času. Pro obecné děje s nekonstantními rychlostmi a nekonstantním zrychlením však podíl dává jenom průměrnou rychlost nebo průměrné zrychlení a okamžitou rychlost nebo okamžité zrychlení určujeme pomocí derivace. [[Rychloměr|Tachometr]] v automobilu je vlastně mechanická kalkulačka ukazující derivaci polohy podle času. [216] => [217] => === Diferenciální rovnice === [218] => {{Podrobně|Diferenciální rovnice}} [219] => Mnoho vědeckých problémů lze formulovat v podobě [[rovnice|rovnic]], ve kterých se vedle sebe vyskytuje nějaká funkce i její derivace. Takové rovnici se říká [[diferenciální rovnice]]. Diferenciální rovnice se objevují snad ve všech vědeckých oborech, kromě matematiky a fyziky také např. v [[chemie|chemii]], [[sociologie|sociologii]], [[ekologie|ekologii]] atd. Podle toho, zda se v rovnici objevují pouze „obyčejné“ derivace, nebo i parciální derivace, se rozlišují [220] => * [[obyčejná diferenciální rovnice]] (ODR) a [221] => * [[parciální diferenciální rovnice]] (PDR). [222] => [223] => == Poznámky == [224] => [225] => [226] => == Související články == [227] => * [[Matematická analýza]] [228] => * [[Limita]] [229] => * [[Integrál]] [230] => * [[Diferenciál (matematika)|Diferenciál]] [231] => * [[Diferenciální rovnice]] [232] => * [[Diference]] [233] => * [[Průběh funkce]] [234] => * [[Numerická derivace]] [235] => [236] => == Externí odkazy == [237] => * {{Wikislovník|heslo=derivace}} [238] => * {{MathWorld|Derivative|Derivace}} [239] => * [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en WIMS Function Calculator] online výpočty derivací [240] => * [http://trial.kma.zcu.cz/main.php?podObsah=7.1.&TLink=7a/010&v=0 TRIAL, Diferenciální počet] – Katedra matematiky, Západočeská univerzita [241] => [242] => {{Autoritní data}} [243] => {{Portály|Matematika}} [244] => [245] => [[Kategorie:Diferenciální počet]] [246] => [[Kategorie:Matematické symboly]] [] => )

good wiki

Derivace

Graf funkce (černě) a její tečna (červeně). Sklon tečny odpovídá derivaci funkce ve vyznačeném bodě Derivace je důležitý pojem matematické analýzy a základ diferenciálního počtu.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

Derivace

About

Expert Team

Award winning agency

10 Year Exp.

You might be interested in

Diferencovatelnost

Fyzika

Integrál

Limita

Rychlost

Sečna

Tečna

Zrychlení

Service

About us

Technology

Locations