Array ( [0] => 14661432 [id] => 14661432 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Křivka [uri] => Křivka [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|tento=geometrickém útvaru}} [1] => '''Křivka''' je v [[matematika|matematice]] [[geometrie|geometrický]] jednorozměrný objekt, případně zobrazení z [[Přímka|přímky]] do nějakého prostoru (tzv. parametrizovaná křivka). Jednoduché příklady křivek jsou [[přímka]] nebo [[kružnice]]. [2] => [3] => == Formální definice == [4] => Je-li ''M'' nějaký matematický prostor (například [[Eukleidovský prostor]], [[varieta (matematika)|varieta]], [[topologický prostor]]) a ''I'' [[Interval (matematika)|interval]] [[Reálné číslo|reálných čísel]], pak křivkou k rozumíme [[spojitost|spojité]] [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] ''I'' do ''M''. Toto se někdy také nazývá '''parametrické vyjádření křivky'''. Pokud má smysl mluvit o [[derivace|derivaci]] ''k'' (tj. pokud cílový prostor je [[Eukleidovský prostor]] nebo [[varieta (matematika)|hladká varieta]] a [[derivace]] existuje v každém [[Bod|bodě]]), nazývá se křivka '''hladká''' nebo '''diferencovatelná'''. Hladká křivka je '''regulární''', pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá '''uzavřená''', pokud ''I'' je uzavřený [[Interval (matematika)|interval]] ''[a,b]'' a k(a)=k(b). Množina \{k(x);\,x\in I\} se nazývá '''(geometrický) obraz křivky'''. Mají-li složky k_i křivky ''k'' na otevřeném [[interval (matematika)|intervalu]] (a,b) spojité derivace až do r-tého řádu, pak říkáme, že se jedná o ''křivku r-té třídy''. Má-li křivka všechny derivace, říkáme někdy, že je třídy [[nekonečno]], neboli nekonečně diferencovatelná. [5] => [6] => Někdy se slovem ''křivka'' myslí jenom její [[Zobrazení (matematika)|obraz]] křivky (v dřívější definici), tj. [[množina]] bodů \{[(x(t), y(t), z(t)];\, t\in<\alpha,\beta>\}. Ta se někdy také nazývá '''neparametrická křivka'''. [7] => [8] => == Rovinná křivka == [9] => '''Rovinnou křivkou''' rozumíme [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] intervalu reálných čísel ''I'' do (euklidovské) [[Rovina|roviny]] [10] => :x = \phi(t) [11] => :y = \psi(t) [12] => pro t \in I, kde \phi a \psi jsou spojité funkce. [13] => [14] => Předpokládáme obvykle, že [[funkce (matematika)|funkce]] \phi(t), \psi(t) jsou na [[interval (matematika)|intervalu]] \langle\alpha,\beta\rangle [[spojitá funkce|spojité]] a mají na tomto intervalu po částech spojité [[derivace]] \phi^\prime(t), \psi^\prime(t). Někdy se předpokládá, že funkce \phi, \psi jsou pouze spojité, pak se ale překvapivě může stát, že obrazem křivky je např. celý [[čtverec]]. [15] => [16] => Křivka je ''regulární'', pokud pro žádné t nejsou derivace \phi^\prime(t), \psi^\prime(t) současně [[nula|nulové]]. Křivku, která (kromě krajních bodů) neprotíná sama sebe (tj. je prostá uvnitř definičního intervalu) označujeme jako '''jednoduchou'''. Pokud platí současně \phi(\alpha)=\phi(\beta), \psi(\alpha)=\psi(\beta), tzn. počáteční bod křivky splývá s bodem koncovým, pak křivku označíme jako '''uzavřenou'''. [17] => [18] => Rovnici obrazu rovinné křivky lze často (ale ne vždy) vyjádřit ve formě funkční závislosti kartézských [[proměnná|proměnných]] x, y, tzn. [19] => :y=f(x), [20] => popř. implicitně [21] => :F(x,y)=0. [22] => [23] => Křivku označíme jako '''rektifikovatelnou''', pokud má konečnou [[délka|délku]], kterou lze vyjádřit jako [24] => :l = \int_\alpha^\beta \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t [25] => [26] => === Jordanova křivka === [27] => Jednoduchou uzavřenou rovinnou křivku označujeme jako '''Jordanovu křivku'''. Jordanova křivka je [[Homeomorfismus|homeomorfním]] obrazem [[kružnice]]. Rozděluje rovinu na dvě souvislé oblasti. Tu, která je [[Omezená množina|omezená]] a jednoduše souvislá označujeme jako '''vnitřek křivky''' (nebo '''lépe vnitřní, Jordanovu oblast'''), zbytek roviny pak jako '''vnějšek křivky''' ('''vnější oblast'''). [28] => [29] => === Orientace křivky === [30] => Na neparametrické hladké křivce můžeme zvolit dvě [[Orientace (matematika)|orientace]]. Formálně to je volba [[Báze (lineární algebra)|báze]] jejího (jednorozměrného) tečného prostoru v každém bodě. Tvoří-li uzavřená křivka hranici určité oblasti \Omega, pak řekneme, že je ''kladně orientovaná'' vzhledem k \Omega, pokud oblast \Omega zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). Formálněji, křivka je kladně orientována, pokud normálový vektor k oblasti \Omega a tečný vektor ke křivce určen její orientací tvoří kladnou bázi tečného prostoru (souřadnice těchto vektorů napsány ve sloupcích vedle sebe tvoří [[matice|matici]], která má kladný [[determinant]]). V opačném případě se jedná o ''záporně orientovanou křivku''. [31] => [32] => === Příklady rovinných křivek === [33] => * [[přímka]] [34] => * [[kuželosečka|kuželosečky]] [35] => * [[cykloida]] [36] => * [[Archimédova spirála]] [37] => * [[řetězovka]] [38] => [39] => == Prostorová křivka == [40] => '''Prostorovou křivkou''' rozumíme [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] intervalu reálných čísel ''I'' do (trojrozměrného euklidovského) prostoru [41] => :x = x(t) [42] => :y = y(t) [43] => :z = z(t) [44] => pro t \in I, kde ''x'', ''y'' a ''z'' jsou spojité funkce. [45] => [46] => Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve [[vektor]]ovém tvaru [47] => :\mathbf{r} = \mathbf{r}(t), t \in I, [48] => kde \mathbf{r} představuje [[polohový vektor|rádiusvektor]]. [49] => [50] => Křivku v prostoru lze také zadat jako [[průnik]] dvou [[plocha|ploch]], např. [51] => :z=f(x,y) [52] => :z=g(x,y) [53] => nebo [54] => :F(x,y,z)=0 [55] => :G(x,y,z)=0. [56] => [57] => Jsou-li rovnice popisující křivku (v kartézské soustavě souřadnic) [[algebraická rovnice|algebraické]], pak křivku označujeme jako '''algebraickou''' (např. přímka nebo kuželosečky). Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je '''transcendentní''' (např. sinusoida nebo řetězovka). [58] => [59] => === Příklady prostorových křivek === [60] => * [[přímka]] [61] => * [[šroubovice]] [62] => [63] => == Délka křivky == [64] => {{Podrobně|Délka křivky}} [65] => [[Délka křivky]] se v [[Diferenciální geometrie|diferenciální geometrii]] definuje pomocí vhodných [[Parametrizace|parametrizací]] této křivky. Obecně však nemusí být definována, resp. je nekonečná. [66] => [67] => == Oblouk křivky{{Doplňte zdroj}} == [68] => '''Obloukem křivky''' k: \langle a,b\rangle \to \R^n od bodu t_0 \in \langle a,b\rangle do bodu t \in \langle a,b\rangle se nazývá ''délka'' části křivky mezi k(t_0) a k(t). Pokud je křivka hladká (tj. ''k'' má spojité (1.) derivace), dá se vyjádřit vzorcem [69] => :s(t) = \int_{t_0}^t \sqrt{{\sum_{i=1}^n \left(\frac{\mathrm{d}k_i}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \mathrm{d} t [70] => kde k_i je ''i''-tá složka křivky. [71] => [72] => Výhoda oblouku je, že ho lze použít jako parametr pro tzv. '''přirozenou parametrizaci křivky (obloukem)'''. [73] => [74] => [[Diferenciální forma|Diferenciál]] [75] => :\mathrm{d}s = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \sqrt{\mathrm{d}\mathbf{k}\cdot\mathrm{d}\mathbf{k}} = \sqrt{\sum_i\mathrm{d}k_i^2} [76] => nazýváme ''diferenciál (prvek, element) oblouku'' nebo ''lineární prvek (element) křivky''{{Doplňte zdroj}}. [77] => [78] => == Křivky vyplňující prostor == [79] => Obrazem křivky mohou být překvapivě i množiny, které mají větší [[topologická dimenze|topologickou dimenzi]] než jedna. Kupříkladu [[Hilbertova křivka]] je spojité zobrazení úsečky na čtverec, tj. spojitá křivka, která vyplní celý (dvourozměrný) čtverec. [80] => [81] => [[Soubor: Hilbert curve.png|střed]] [82] => [83] => Na obrázku je prvních 6 iterací konstrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není [[prostá funkce|prostá]]. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec je [[Sierpińského křivka]]. [84] => [85] => Klasifikace, který [[topologický prostor]] je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'', řeší [[Hahnova–Mazurkiewiczova věta]]: [86] => * Neprázdný [[Hausdorffův prostor|Hausdorffův]] [[topologický prostor]] ''X'' je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'' právě když je [[kompaktní prostor|kompaktní]], [[souvislý prostor|souvislý]], lokálně souvislý a [[separabilní prostor|separabilní]]. [87] => Speciálně tedy každá kompaktní souvislá [[varieta (matematika)|varieta]] se dá „vyplnit“ křivkou. [88] => [89] => == Příklady == [90] => * [[Bézierova křivka]] [91] => * [[Racionální Bézierova křivka]] [92] => * [[B-spline křivka]] [93] => [94] => [[Soubor:Krivka explicitne.png]] [95] => [[Soubor:Krivka parametricky.png]] [96] => [[Soubor:Krivka aprox.png]] [97] => [[Soubor:Krivka inter.png]] [98] => [99] => == Odkazy == [100] => === Literatura === [101] => * {{Citace monografie | příjmení = Lomtatidze | jméno = Lenka | titul = Historický vývoj pojmu křivka | vydavatel = Akademické nakladatelství CERM | místo = Brno | rok = 2007 | stránky = | poznámka = | url = http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/401091 | isbn = 978-80-7204-492-4 }} [102] => * [[Karel Rektorys|REKTORYS, Karel.]] a spol.: ''Přehled užité matematiky I.'' 7. vyd. Praha : Prometheus, [[2003]]. {{ISBN|80-7196-179-5}}. [103] => [104] => === Související články === [105] => * [[Lagrangeova interpolace]] [106] => * [[C1 kubická interpolace]] [107] => * [[C2 kubická interpolace]] [108] => * [[Hermitova kubika]] [109] => * [[Algoritmus de Casteljau]] [110] => * [[Algoritmus de Casteljau#Racionální Algoritmus de Casteljau|Racionální Algoritmus de Casteljau]] [111] => * [[Afinní transformace souřadnic]] [112] => * [[Výpočet průsečíku křivek]] [113] => [114] => === Externí odkazy === [115] => * {{Commonscat}} [116] => * {{Wikislovník|heslo=křivka}} [117] => * [http://dagles.klenot.cz/rihova/krivky.pdf Některé rovinné křivky - lemniskáta, Archimédova spirála, atd. (pdf)] [118] => * [http://www.math.muni.cz/~mlc/CD/disert.pdf Historický vývoj pojmu křivka (disertační práce, pdf)]{{Nedostupný zdroj}} [119] => {{Autoritní data}} [120] => [121] => [[Kategorie:Křivky]] [] => )
good wiki

Křivka

Křivka je v matematice geometrický jednorozměrný objekt, případně zobrazení z přímky do nějakého prostoru (tzv. parametrizovaná křivka).

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'derivace','přímka','zobrazení (matematika)','varieta (matematika)','topologický prostor','Eukleidovský prostor','Interval (matematika)','kružnice','interval (matematika)','čtverec','spojitá funkce','Báze (lineární algebra)'

Čtverec

Derivace

Kružnice

Přímka