Array ( [0] => 15490879 [id] => 15490879 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Koule [uri] => Koule [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Sphere wireframe 15deg 10r.svg|náhled|Koule v [[Eukleidovská geometrie|euklidovském zobrazení]]]] [1] => [2] => {{Různé významy|tento=[[prostor (geometrie)|prostorovém]] [[těleso|tělese]]}} [3] => [4] => '''Koule''' je [[prostor (geometrie)|prostorové]] [[těleso]] tvořené [[množina|množinou]] všech [[bod]]ů (trojrozměrného euklidovského) prostoru, jejichž [[vzdálenost]] od zadaného bodu (středu) je nejvýše rovna zadanému [[poloměr]]u. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří [[plocha|povrch]] koule, tzv. [[Sféra (matematika)|kulovou plochu]] (také označovanou jako ''sféra'' nebo ''sférická plocha''). Pojmy koule a [[sféra (matematika)|sféry]] se tedy v [[matematika|matematice]] na rozdíl od běžné řeči obvykle rozlišují. Pro označení „vnitřku“ koule, tedy pro kouli bez jejího povrchu, se používá označení '''otevřená koule'''. [5] => [6] => Pojem koule a s ním související pojmy lze zobecnit na každý [[metrický prostor]] s metrikou (vzdáleností) ''ρ''. Je-li ''x'' prvek metrického prostoru a ''r'' > 0 reálné číslo, tak koule se středem ''x'' a poloměrem ''r'' je množina všech bodů tohoto prostoru ''y'' vyhovujících podmínce [7] => :K = \{ y \in P : \rho(y,x) \le r\}, [8] => sféra se stejným středem a poloměrem je [9] => :S = \{ y \in P : \rho(y,x)=r\} [10] => a otevřená koule je [11] => :B = \{ y \in P : \rho(y,x) [12] => [13] => == Vlastnosti == [14] => * Koule je velmi [[symetrie|symetrická]]: [[středová souměrnost|středově]] (podle středu), [[osová symetrie|osově]] a [[rovinová souměrnost|rovinově]] podle libovolné [[přímka|přímky]], resp. [[rovina|roviny]] procházející středem. [15] => * [[Objem]]: V = \frac{4}{3} \pi r^3 [16] => * [[Obsah|Povrch]]: S = 4 \pi r^2 [17] => * [[Průmět]]: S = \pi r^2 [18] => * [[Kulová výseč]]: V = \frac{2}{3} \pi r^2 v [19] => * [[Kulová vrstva]]: V = \frac{\pi r_1^2 v}{2} + \frac{\pi r_2^2 v}{2} + \frac{\pi v^3}{6} [20] => * [[Objem kulové úseče]]: V = \frac{\pi r_1^2 v}{2} + \frac{\pi v^3}{6} [21] => [22] => * Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší obsah a naopak, mezi plochami s daným obsahem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě [[kapka|kapek]] a [[bublina|bublin]], jejichž povrch je minimalizován [[povrchové napětí|povrchovým napětím]]. [23] => * Koule je [[rotační těleso]], může vzniknout otáčením [[Kruh (geometrie)|kruhu]] podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela [[elipsa]], vznikl by [[rotační elipsoid]]. [24] => * [[Válec]] opsaný kouli má povrch i objem rovný 3/2 povrchu, resp. objemu koule. [25] => * Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí [[sférická geometrie|sférické geometrie]]. [26] => * Koule s různými poloměry a shodnými středy se označují jako soustředné (koncentrické) koule. [27] => [28] => == Odvození vzorce pro povrch a objem koule == [29] => [30] => === Povrch === [31] => :Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu a má zde spojitou derivaci f'(x). Potom pro obsah rotační plochy vzniklé rotací kolem osy x platí: [32] => :S=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx [33] => :Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je: [34] => :x^2+y^2=r^2 >>> vyjádříme y: [35] => :y=\sqrt{r^2-x^2} [36] => :A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r. [37] => :S=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\cdot\sqrt{1+(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}})^2}dx [38] => :Po úpravách dostáváme: [39] => :S=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\cdot\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx [40] => :S=2\pi \int_{-r}^{r}rdx - integrujeme: [41] => :S=2\pi [rx]_{-r}^{r} - odečítáme dolní hodnotu od horní: [42] => :S=2\pi r^2-(-2\pi r^2)=4\pi r^2 [43] => [44] => === Objem === [45] => :Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu a nechť T je těleso v \mathbb{R}^3, které vznikne rotací grafu f(x) kolem osy x. Potom pro objem tělesa T je dán vzorcem: [46] => :V=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^2dx [47] => :Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je: [48] => :x^2+y^2=r^2 >>> vyjádříme y: [49] => :y=\sqrt{r^2-x^2} [50] => :A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r. [51] => :V=\pi \int_{-r}^{r}(\sqrt{r^2-x^2})^2dx [52] => :V=\pi \int_{-r}^{r}r^2-x^2dx - integrujeme [53] => :V=\pi [r^2x-\frac{x^3}{3}]_{-r}^{r} - odečteme dolní hodnotu od horní: [54] => :V=\pi [r^3-\frac{r^3}{3}]-\pi [-r^3+\frac{r^3}{3}] [55] => :V=\frac{4}{3}\pi r^3 [56] => [57] => Odvození objemu koule bez použití integrálního počtu umožňuje [[Cavalieriův princip]]. [58] => [59] => == Analytické vyjádření == [60] => V [[analytická geometrie|analytické geometrii]] lze kouli se středem [''x''0, ''y''0, ''z''0] a poloměrem ''r'' definovat jako [[množina|množinu]] bodů [''x, y, z''], pro která platí [[nerovnost (matematika)|nerovnost]]: [61] => :{(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 + {(z-z_0)}^2 \leq r^2. [62] => [63] => === Parametrické vyjádření === [64] => Kulovou plochu se středem [''x''0, ''y''0, ''z''0] a poloměrem ''r'' lze [[parametrická funkce|parametrizovat]] následujícími rovnicemi: [65] => :x = x_0 + r \cos\varphi \sin\theta [66] => :y = y_0 + r \sin\varphi \sin\theta [67] => :z = z_0 + r \cos\theta \, [68] => přičemž 0<\varphi\leq 2 \pi, 0\leq\theta\leq\pi. [69] => [70] => === Rovnice kulové plochy === [71] => Obecná rovnice kulové plochy je [72] => :x^2+y^2+z^2+mx+ny+pz+q=0 [73] => Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z obecnější rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny xy, xz, yz a koeficienty u druhých [[mocnina|mocnin]] jsou stejné. [74] => [75] => Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru [76] => :{\left(x+\frac{m}{2}\right)}^2 + {\left(y+\frac{n}{2}\right)}^2 + {\left(z+\frac{p}{2}\right)}^2 = \frac{m^2+n^2+p^2}{4}-q [77] => Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem \left[-\frac{m}{2},-\frac{n}{2},-\frac{p}{2}\right] a [[poloměr]]em r=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2+n^2+p^2)-q}. Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o ''reálné kulové ploše''. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod [[prostor (geometrie)|prostoru]] (jde o tzv. ''imaginární kulovou plochu''). Je-li výraz pod odmocninou [[nula|nulový]], vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru. [78] => [79] => == Zobecnění == [80] => Kouli (resp. kulovou plochu) lze považovat za trojrozměrnou obdobu [[Kruh (geometrie)|kruhu]] (resp. [[kružnice]]). Obdoba koule v ještě vyšších [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzích]] je tzv. [[hyperkoule]]. [81] => [82] => V [[metrický prostor|metrickém prostoru]] ''X'' je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost ''d'' od daného bodu ''x'' je ''ostře menší'' než poloměr ''r'', tedy U(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y). Otevřená koule je pochopitelně [[otevřená množina]]. [83] => Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost ''d'' od daného bodu ''x'' je ''rovna'' poloměru ''r'', tedy S(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)=r\}. Sféra je [[uzavřená množina]]. [84] => [85] => V [[topologie|topologii]] je koule taková množina, která je [[homeomorfismus|homeomorfní]] běžné eukleidovské kouli. [86] => [87] => == Související články == [88] => * [[Geometrický útvar]] [89] => * [[Elipsoid]] [90] => * [[Sférická geometrie]] [91] => [92] => == Externí odkazy == [93] => * {{Commonscat}} [94] => * {{Wikicitáty|téma=Koule}} [95] => * {{Wikislovník|heslo=koule}} [96] => {{Autoritní data}} [97] => {{Portály|Matematika}} [98] => [99] => [[Kategorie:Oblá tělesa]] [] => )
good wiki

Koule

euklidovském zobrazení Koule je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů (trojrozměrného euklidovského) prostoru, jejichž vzdálenost od zadaného bodu (středu) je nejvýše rovna zadanému poloměru. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'množina','metrický prostor','Kruh (geometrie)','poloměr','prostor (geometrie)','Obsah','bublina','rotační těleso','středová souměrnost','Objem kulové úseče','Kulová výseč','rovina'

Bublina

Množina

Obsah

Poloměr

Rovina