Account App Integration - Responsive Website Template

Array ( [0] => 15481930 [id] => 15481930 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Kružnice [uri] => Kružnice [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|tento=[[geometrický útvar|geometrickém útvaru]]|stránka=Kružnice (rozcestník)}} [1] => [[Soubor:Kruh-1.svg|náhled|vpravo|Základní atributy kružnice]] [2] => V [[Eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] je '''kružnice''' [[množina]] všech [[bod]]ů v [[rovina|rovině]], které leží ve stejné [[vzdálenost]]i, označované jako '''[[poloměr]]''', od pevně daného bodu, zvaného '''[[střed]]'''. Kružnice jsou jednoduché uzavřené [[křivka|křivky]], rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek. [3] => [4] => S kružnicí úzce souvisí i termín '''[[kruh]]''', což je množina bodů složená z kružnice i jejího vnitřku, tedy všech bodů ve stejné nebo menší vzdálenosti od středu než je poloměr. Poloměrem nazýváme také každou [[úsečka|úsečku]] spojující střed s bodem na kružnici. [5] => [6] => Množina všech bodů, které mají od pevného bodu

S

vzdálenost nejméně

r

a nejvýše

R

, se nazývá '''[[mezikruží]]'''. Mezikruží je tedy část roviny nacházející se mezi dvěma kružnicemi se společným středem. [7] => [8] => [9] => == Algebraické vyjádření == [10] => [11] => === Středová rovnice === [12] => V [[kartézská soustava souřadnic|kartézském souřadném systému]] (''x'', ''y'') je kružnice se středem (''x''₀, ''y''₀) a [[poloměr]]em ''r'' množina všech bodů (''x'', ''y'') vyhovujících [[rovnice|rovnici]] [13] => [14] => :

\left( x - x_0 \right)^2 + \left( y - y_0 \right)^2=r^2

[15] => [16] => Pokud se střed kružnice nachází v počátku souřadnic (0, 0), lze tento vzorec zjednodušit na [17] => :

x^2 + y^2 = r^2 \,

[18] => [19] => Kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1 se nazývá [[jednotková kružnice]]. [20] => [21] => === Obecná rovnice === [22] => :

x^2 + y^2 -2 mx - 2ny + p=0

[23] => kde

p = m^2 + n^2 - r^2

. Platí přitom

m^2 + n^2 - p > 0

. V opačném případě nejde o kružnici. [24] => [25] => === Vrcholová rovnice === [26] => Kružnici lze vyjádřit také tzv. ''vrcholovou rovnicí'' [27] => :

y^2 = 2rx-x^2

, [28] => která popisuje kružnici o poloměru

r

se středem v bodě

[r,0]

. [29] => [30] => === Parametrické vyjádření === [31] => [[parametrická funkce|Parametrické rovnice]] kružnice lze zapsat jako [32] => :

x = x_0 + r \cos\varphi

[33] => :

y = y_0 + r \sin\varphi

[34] => kde

r

je poloměr kružnice,

[x_0,y_0]

je její střed a

\varphi\in\langle 0,2\pi)

je proměnný parametr. [35] => [36] => === Rovnice v polárních souřadnicích === [37] => V [[polární soustava souřadnic|polárních souřadnicích]] má rovnice kružnice o poloměru

r

se středem

[\rho_0,\varphi_0]

tvar [38] => :

\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos{(\varphi-\varphi_0)}+\rho_0^2 = r^2

[39] => [40] => Ve zvláštním případě, kdy střed kružnice leží na polární ose (tedy

\varphi_0=0

) a počátek soustavy leží na kružnici (tedy

\rho_0=r

) dostaneme rovnici [41] => :

\rho = 2r\cos\varphi

[42] => [43] => === Rovnice kuželosečky === [44] => Kružnice je speciálním případem [[kuželosečka|kuželosečky]], konkrétně [[elipsa|elipsy]], a může být tedy vyjádřena obecnou rovnicí kuželosečky. Kružnici lze z obecné rovnice kuželosečky získat tehdy, pokud koeficienty

a_{ij}

splňují podmínky [45] => :

a_{11}=a_{22}\neq 0

[46] => :

a_{12}=0

[47] => :

a_{13}^2 + a_{23}^2 - a_{11} a_{33} > 0

[48] => [49] => Obecnou rovnici kuželosečky lze tedy pro kružnici přepsat ve tvaru [50] => :

a_{11}x^2+a_{11}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

[51] => [52] => Vyjádříme-li z této rovnice poloměr kružnice, dostaneme [53] => :

r = \frac{1}{a_{11}} \sqrt{a_{13}^2+a_{23}^2-a_{11}a_{33}}

[54] => Střed této kružnice má souřadnice [55] => :

\left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},-\frac{a_{23}}{a_{11}}\right]

[56] => [57] => == Vlastnosti == [58] => Sklon (nebo [[derivace|derivaci]]) kružnice lze vyjádřit následujícím vzorcem: [59] => :

y' = - \frac{x}{y}

[60] => [61] => Všechny kružnice jsou si [[Podobnost (geometrie)|podobné]]; v důsledku toho jsou délka kružnice a její poloměr [[přímá úměrnost|přímo úměrné]], stejně jako [[obsah]] jí určeného kruhu a [[mocnina|čtverec]] poloměru kružnice. Koeficienty úměrnosti činí 2[[Pí (číslo)|π]] respektive π. [62] => Jinými slovy (

r

je poloměr a

d

průměr): [63] => * Délka kružnice ([[Obvod (geometrie)|obvod]] kruhu) [64] => :

o = 2\pi r = \pi d

[65] => [66] => Délku kružnice lze odvodit pomocí [[Pravidelný mnohoúhelník|pravidelného mnohoúhelníku]] s '''n''' vrcholy a poloměru kružnice opsané '''r'''. Mnohoúhelník je tvořen '''n''' [[Rovnoramenný trojúhelník|rovnoramennými trojúhelníky]]. Obvod pravidelného mnohoúhelníku je dán jako n-násobek jeho strany (označíme '''a'''). Tu vypočítáme snadno pomocí funkce [[sinus]] v [[Pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] (poloviny rovnoramenného), kde přeponou je poloměr opsané kružnice '''r''', první odvěsnou poloměr vepsané kružnice '''v''' (tedy zároveň výšky rovnoramenného trojúhelníku na jeho základnu '''a''') a druhou je polovina strany mnohoúhelníku (tj. '''a/2'''). Úhel mezi stranami '''r''' a '''v''' je polovinou hlavního vrcholu, který se dá vypočítat jako jedna n-tina plného úhlu (tj. 360° neboli 2π). [67] => [68] => Obvod se tedy rovná:

o = 2nr \sin \frac{\pi}{n}

[69] => [70] => Na kružnici se můžeme dívat jako na mnohoúhelník, který má nekonečně mnoho vrcholů (úvaha viz odvození vzorce obsahu kruhu). Budeme tedy obvod kruhu počítat jako limitu obvodu mnohoúhelníku, kdy se '''n''' blíží k nekonečnu:

o = \lim_{n \to \infty} 2nr \sin \frac{\pi}{n} = \lim_{x \to 0} \frac{2r \sin(\pi x)}{x} = 2\pi r

[71] => [72] => * [[Obsah]] kruhu [73] => :

S = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}

[74] => [75] => Vzorec pro obsah kruhu lze odvodit ze vzorce pro jeho obvod a ze vzorce pro obsah [[trojúhelník]]u. Představme si pravidelný [[šestiúhelník]] rozdělený do stejných trojúhelníků s jejich hroty ve středu šestiúhelníku. Obsah šestiúhelníku lze zjistit pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku sečtením délek všech základen trojúhelníků (na hranici šestiúhelníku), vynásobením jejich výškami (vzdálenost středu základny trojúhelníku do centra šestiúhelníku) a dělením dvěma. To vytvoří odhad obsahu kruhu. Představíme-li si totéž s pravidelným [[osmiúhelník]]em, bude odhad o něco blíže obsahu kruhu. Budeme-li brát pravidelný [[mnohoúhelník]] s více a více stranami, dělit jej na trojúhelníky a počítat z nich obsah, tento obsah bude stále bližší a bližší obsahu kruhu. Blíží-li se v [[limita|limitě]] počet stran k nekonečnu, součet jejich základen dosáhne obvodu kruhu 2π''r'', a výška trojúhelníků dosáhne poloměru ''r''. Vynásobením obvodu a poloměru a vydělením 2 dosáhneme obsahu kruhu, π ''r''². [76] => [77] => Podobně můžeme vzorec odvodit, známe-li vzorec pro výpočet obsahu pravidelného [[mnohoúhelník]]u s '''n''' vrcholy, který můžeme snadno získat s pomocí známého vzorce pro výpočet obsahu [[trojúhelník]]u:

S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma

, kam za '''a''', '''b''' dosadíme poloměr [[Kružnice opsaná|opsané kružnice]] mnohoúhelníku a úhel '''γ''' lze vyjádřit jedna n-tina plného úhlu (tj. 360° neboli 2π). [78] => [79] => Vzorec pro obsah pravidelného mnohoúhelníku tedy vyjádříme jako:

S = \frac{1}{2}\ n r^2 \operatorname{sin}\frac{2\pi}{n}

[80] => [81] => Chceme-li vypočítat obsah kruhu, stačí si představit kruh jako mnohoúhelník s nekonečným počtem vrcholů. Toto můžeme vyvodit už ze samotné definice kružnice: ''"Kružnice je množina všech bodů v rovině, které leží ve stejné vzdálenosti, označované jako poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed."'' Obdobně se dá zadefinovat i mnohoúhelník, který je vlastně množinou '''n''' bodů, které leží ve stejné vzdálenosti pevně daného bodu (středu). A chceme li množinu '''všech''' bodů, je jasné, že naše '''n''' bude nekonečné. [82] => [83] => Budeme tedy počítat limitu obsahu pravidelného mnohoúhelníka pro '''n''' jdoucí k nekonečnu:

S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}\ n r^2 \operatorname{sin}\frac{2\pi}{n} = \lim_{x \to 0} \frac{r^2 \sin2\pi x}{2x} = \pi r^2

[84] => [85] => === Sečna, tečna, tětiva, kruhová výseč a úseč === [86] => [[Soubor:Kruh-2.svg|vpravo|náhled|Sečna, tečna, tětiva, kruhová výseč a úseč]] [87] => [88] => [[Přímka]] dělící kruh na dvě části se nazývá ''[[sečna]]'' a přímka dotýkající se kruhu na jednom místě se nazývá ''[[tečna]]''. Tečny jsou vždy [[Ortogonalita|kolmé]] k spojnici bodu doteku a středu, jejíž velikost je rovna poloměru. [89] => [90] => Rovnice pro výpočet ''[[tečna|tečny]]'' v bodě

T[x_0,y_0]

, který náleží kružnici, se vyjádří: [91] => :

(x_0-m)(x-m)+(y_0-n)(y-n)=r^2

[92] => [93] => Část sečny obklopená kružnicí se nazývá ''[[Tětiva (geometrie)|tětiva]]''. Nejdelšími tětivami jsou ty, které prochází středem, zvané ''[[průměr (geometrie)|průměry]]'', jejichž velikost je rovna dvojnásobku poloměru. Část kruhu odseknutá tětivou je ''[[kruhová úseč]]''. [94] => [[Obsah]] kruhové úseče je dán vztahem [95] => :

S = \frac{1}{2}[l r - t(r-v)] = \frac{r^2}{2}(\alpha-\sin\alpha)

, [96] => kde

l

je délka [[kruhový oblouk|oblouku]] kruhové úseče,

r

je poloměr kruhu,

v

je výška kruhové úseče,

t

je délka tětivy a

\alpha

je velikost středového úhlu v obloukové míře. [97] => [98] => Část kružnice mezi dvěma poloměry se nazývá ''[[kruhový oblouk]]'' a oblast (tedy výřez kruhu) mezi poloměry a obloukem se nazývá ''[[kruhová výseč]]''. Poměr mezi délkou oblouku a poloměrem definuje [[úhel]] mezi dvěma poloměry v [[radián]]ech. [99] => Obsah kruhové výseče lze určit ze vztahu [100] => :

S = \frac{r^2 \alpha}{2} = \frac{l r}{2}

, [101] => kde

\alpha

je středový [[úhel]] v obloukové míře,

r

je poloměr kruhu a

l

je délka oblouku kružnice. [102] => [103] => === Nalezení středu z oblouku === [104] => Je-li známa pouze kružnice nebo její část, lze následujícím způsobem nalézt střed: vezměte dvě [[Rovnoběžky|nerovnoběžné]] tětivy, zkonstruujte kolmice na jejich středy a zjistěte jejich průsečík. Poloměr ''r'' tohoto částečného kruhu lze spočítat z délky L tětivy a vzdálenosti D ze středu tětivy do nejbližšího bodu kružnice různými vzorce včetně: [105] => [[Soubor:Oblouk-2.svg|náhled|vpravo|Znázornění tětivy]] [106] => (z [[geometrie|geometrického]] odvození) [107] => :

r = \frac{{\left(\frac{L}{2}\right)}^2 + D^2}{2D}

;

r=\frac{L^2}{8D}+\frac{D}{2}

[108] => [109] => (z [[trigonometrie|trigonometrického]] odvození) [110] => :

r = \frac{L}{\ 2\left(\sin  2 (\operatorname{arctg}\frac{L}{2D})\right)}

;

r=\frac{(L/2)}{\sin\biggl(2\mathrm{arctg}\Bigl(\frac{D}{(L/2)}\Bigr)\biggr)}

[111] => [112] => === Kružnice opsaná a vepsaná === [113] => Každý [[trojúhelník]] určuje několik kružnic: jeho [[kružnice opsaná]] obsahuje všechny tři vrcholy, [[kružnice vepsaná]] leží uvnitř trojúhelníku a dotýká se všech tří stran, tři [[kružnice připsaná|kružnice připsané]] ležící mimo trojúhelník a dotýkající se vždy jedné strany a prodloužení zbylých dvou a [[kružnice devíti bodů]], která obsahuje různé důležité body trojúhelníku. [[Thaletova věta]] tvrdí, že pokud tři vrcholy trojúhelníku leží na dané kružnici, v níž jedna strana trojúhelníku tvoří průměr kružnice, pak protilehlý úhel k této straně je [[pravý úhel|pravý]]. [114] => [115] => Pro dané tři body neležící na přímce zde existuje právě jedna kružnice, která tyto body obsahuje (neboli kružnice opsaná pro trojúhelník definovaný těmito body). Pro dané tři body <(''x''₁,''y''₁), (x₂,''y''₂), (x₃,''y''₃)> je rovnice této kružnice dána jednoduše touto rovnicí s použitím [[determinant]]u [[matice]]: [116] => [117] =>

[118] => \det\begin{bmatrix}
    [119] => x & y & x^2 + y^2 & 1 \\
    [120] => x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
    [121] => x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
    [122] => x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
    [123] => \end{bmatrix} = 0.
    [124] =>

[125] => [126] => Kružnice je typem [[kuželosečka|kuželosečky]], kde výstřednost je rovna nule (rovina řezu je kolmá k ose kužele). [127] => V [[afinní geometrie|afinní geometrii]] se všechny kružnice a elipsy stávají (afinně) [[izomorfismus|izomorfními]] a v [[projektivní geometrie|projektivní geometrii]] se k nim ostatní kuželosečky připojují. V [[topologie|topologii]] jsou všechny jednoduché uzavřené křivky [[homeomorfní]] ke kružnicím a proto je slovo kružnice na ně často aplikováno jako na celek. [128] => Třírozměrnou analogií kruhu je [[koule]]. [129] => [130] => == Související články == [131] => * [[Jednotková kružnice]] [132] => * [[Kruhový oblouk]] [133] => * [[Kruh]] [134] => * [[Poloměr]] [135] => * [[Průměr (geometrie)|Průměr]] [136] => * [[Kuželosečka]] [137] => * [[Geometrický útvar]] [138] => * [[Thaletova věta]] [139] => [140] => == Literatura == [141] => [142] => * Jiří Doležal: ''Základy geometrie'', Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, Ostrava 2006, {{ISBN|80-248-1202-9}}, str. 11 [143] => * Šárka Voráčová a kolektiv: ''Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná'', Academia, Praha 2012, {{ISBN|978-80-200-1575-4}}, str. 16 [144] => [145] => == Externí odkazy == [146] => * {{Commonscat}} [147] => * {{Wikislovník|heslo=kružnice}} [148] => * {{en}} [149] => * [http://www.geometryatlas.com/categories/Circles Vzorce pro kruh a kružnici] na Geometry Atlas. [150] => * [http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html Interaktivní applety Java] Vlastnosti a jednoduché konstrukce kruhu a kružnice. [151] => [152] => {{Kuželosečky}} [153] => {{Autoritní data}} [154] => [155] => [[Kategorie:Kružnice| ]] [156] => [[Kategorie:Kuželosečky]] [157] => [[Kategorie:Rovinné křivky]] [] => )

good wiki

Kružnice

Základní atributy kružnice V euklidovské geometrii je kružnice množina všech bodů v rovině, které leží ve stejné vzdálenosti, označované jako poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed. Kružnice jsou jednoduché uzavřené křivky, rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'trojúhelník','Obsah','mnohoúhelník','tečna','úhel','kruhový oblouk','Thaletova věta','kuželosečka','poloměr','přímá úměrnost','homeomorfní','kružnice devíti bodů'

Kuželosečka

Mnohoúhelník

Obsah

Poloměr

Tečna

Tečna je úsečka v geometrii, která je kolmá na danou přímku nebo křivku.

Trojúhelník

Trojúhelník je geometrický tvar, který je složen z tří stran a tří vrcholů.