Cesko.wiki Základní věta aritmetiky
Author
Albert FloresZákladní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.
Přesná formulace
Pro každé přirozené číslo x \,\. existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0: n, m_1, m_2, \ldots , m_n \,\. +more a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: p_1 tak, že.
p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot p_3^{m_3} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n} = x
Nástin důkazu
Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí: * pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí - prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem: p = p^1 \,\. * pokud platí pro všechna i \leq x \,\. +more , pak x + 1 \,\. je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel - spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů vznikne určitě minimálně jeden rozklad * zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tedy stejný, ať je součin zvolen jakýmkoliv způsobem - dokazuje se sporem (pokud pro x + 1 \,\. existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem).
Související články
Prvočíslo * Prvočíselný rozklad * Největší společný dělitel * Nejmenší společný násobek