Úplná prostorová náhodnost

Úplná prostorová náhodnost (anglicky Complete spatial randomness - CSR) popisuje bodový proces, při kterém se bodové události vyskytují v rámci dané sledované oblasti zcela náhodně. CSR je synonymem pro homogenní Poissonův prostorový proces. Takový proces je často modelován pouze jednou proměnnou, tj. hustotou bodů \rho ve vymezené oblasti. Termín úplná prostorová náhodnost je běžně používán v aplikované statistice v rámci zkoumání určitých bodových modelů, zatímco ve většině ostatních statistických kontextech odkazuje na koncept Poissonova prostorového procesu.

Model

Data v podobě sady bodů, nepravidelně rozmístěných v dané oblasti, se vyskytují v mnoha různých kontextech; například jako umístění stromů v lese, ptačích hnízd, jader v tkáni nebo poloha nemocných lidí. Jakýkoliv takový souboru dat nazýváme prostorový bodový model a odkazujeme jím na umístění jako na události, k odlišení od jakýchkoli jiných bodů příslušné oblasti. +more Hypotéza úplné prostorové náhodnosti prostorového bodového modelu tvrdí, že počet událostí jakékoli oblasti je dán Poissonovým rozdělením o daném průměru při jednotném rozdělení. Události modelu jsou nezávisle a rovnoměrně rozložené v prostoru. Jinými slovy, pro jednotlivé události je stejně pravděpodobné, že se vyskytnou kdekoli a bez vzájemných interakcí.

"Rovnoměrný" se používá ve smyslu stejnoměrného rozdělení pravděpodobnosti v celé studované oblasti, nikoli ve smyslu "rovnoměrného" rozptýlení ve sledované oblasti. Mezi událostmi nedochází k žádným interakcím, jelikož intenzita událostí v rovině se nemění. +more Předpoklad nezávislosti by byl porušen například v případě, že by existence jedné události buď podnítila, nebo potlačila výskyt jiných událostí v okolí.

Rozdělení

Pravděpodobnost nalezení právě k bodů v oblasti V s hustotou jevu \rho je tedy:

:P(k,\rho,V) = \frac{(V\rho)^k e^{-(V\rho) }}{k!} . \,\!

Prvním momentem, kterým je průměrný počet bodů v této oblasti, je \rho V. Tato hodnota je intuitivní, tak jako Poissonův parametr.

Pravděpodobnost s jakou se v určité radiální vzdálenosti r nachází N-tý soused daného bodu, je:

:P_N(r) = \frac{D}{(N-1)!} {\lambda}^N r^{DN-1} e^{- \lambda r^D} ,

kde D je počet rozměrů, \lambda je intenzita daná vztahem \lambda = \frac{\rho \pi ^{\frac{D}{2}}}{\Gamma (\frac{D}{2} +1)} a \Gamma je gama funkce, která je faktoriální funkcí, jestliže je jeho argumentem integrál.

Předpokládanou hodnotu P_N(r) je možné odvodit pomocí funkce gama, využívající statistické momenty. Prvním momentem je průměrná vzdálenost náhodně rozmístěných bodů v D rozměrech.

Aplikace

Studie CSR je nezbytná pro porovnávání naměřených bodových dat z výzkumných zdrojů. Jako statistická testovací metoda, má testování CSR mnoho aplikací v oblasti společenských věd a v astronomických výzkumech. +more CSR je standard, na kterému jsou často testovány datové soubory. Zde je zhruba popsán jeden z přístupů testování hypotézy CSR:.

# Použijte statistiky, které jsou funkcí vzdálenosti každé události od další nejbližší události. # Nejdříve se zaměřte na konkrétní událost a zformulujte metodu testování, zda jsou si událost a další nejbližší událost významně blízké (nebo vzdálené). +more # Poté vezměte v úvahu všechny události a zformulujte metodu testování, zda je průměrná vzdálenost každé události od další nejbližší události významně krátká (nebo dlouhá).

V případech, kdy je výpočet statistik analyticky obtížný, jsou numerické metody, jako je metoda Monte Carlo, použity k simulaci náhodného procesu s velkým počtem opakování.

Reference

Literatura

Externí odkazy

[url=http://handle.dtic.mil/100.2/ADA291151]Improvement of Inter-event Distance Tests of Randomness in Spatial Point Processes[/url]

Kategorie:Statistika