Frobeniův skalární součin

V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.

Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. +more Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.

Definice a značení

Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic \boldsymbol A \in \R^{m \times n} a \boldsymbol B \in \R^{m \times n} je definován výrazem:

: \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ij}

Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze mn. +more Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.

Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic \boldsymbol A \in \Complex^{m \times n} a \boldsymbol B \in \Complex^{m \times n} je dán výrazem:

: \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} \overline{b_{ij}}

Pruh značí komplexně sdružené číslo.

Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili

: \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \overline{a_{ij}} b_{ij}

ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.

Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic \boldsymbol A a \boldsymbol B někdy zapisuje \boldsymbol A \, \colon \,\boldsymbol B.

Vztak k Hadamardovu součinu

Jsou-li \boldsymbol A a \boldsymbol B reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.

Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené " \operatorname{vec} "), pak pro

: \operatorname{vec}\boldsymbol {A} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{21} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{pmatrix} a \operatorname{vec}\boldsymbol {B} = \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{12} \\ \vdots \\ b_{21} \\ b_{22} \\ \vdots \\ b_{nm} \end{pmatrix} platí : (\operatorname{vec}\boldsymbol{A})^\mathrm{T}\overline{\operatorname{vec}\boldsymbol {B}} = (a_{11},a_{12},\ldots,a_{21},a_{22},\ldots,a_{nm}) \begin{pmatrix} \overline{b_{11}} \\ \overline{b_{12}} \\\ \vdots \\ \overline{b_{21}} \\ \overline{b_{22}} \\ \vdots \\ \overline{b_{nm}} \end{pmatrix}

Odtud plyne přímo \langle \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \rangle_\mathrm{F} = (\operatorname{vec}\boldsymbol{A})^\mathrm{T} \overline{\operatorname{vec} \boldsymbol{B}} .

Frobeniova norma

Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:

: \|\boldsymbol{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A} \rangle_\mathrm{F}}

Ukázky

Reálné matice

Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu 2 \times 3

: \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} a \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}

je roven

: \begin{align}\langle \boldsymbol{A} ,\boldsymbol{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\ & = 21 \end{align}

Komplexní matice

Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu 2

: \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1+\mathrm i & -2\mathrm i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} a \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3\mathrm i \\ 4-3\mathrm i & 6 \end{pmatrix}

platí

: \begin{align} \langle \boldsymbol{A} ,\boldsymbol{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1+\mathrm i)\cdot (-2) + (-2\mathrm i)\cdot (-3\mathrm i) + 3\cdot (4+3\mathrm i) + (-5)\cdot 6 \\ & = -26 +7\mathrm i \end{align}

zatímco

: \begin{align} \langle \boldsymbol{B} ,\boldsymbol{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1-\mathrm i) + 3\mathrm i\cdot 2\mathrm i + (4-3\mathrm i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\ & = -26 - 7\mathrm i \end{align}

Frobeniův skalární součin matice \boldsymbol A se sebou samou a součin \boldsymbol B se sebou samou jsou

: \langle \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40 a \langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74 .

Vlastnosti

Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:

: \langle \boldsymbol A+\boldsymbol B,\boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} = \langle \boldsymbol A,\boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} + \langle \boldsymbol B,\boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} a \langle c \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = c \langle \boldsymbol A,\boldsymbol B \rangle_\mathrm{F}

a také semilineární v druhém argumentu, tedy.

: \langle \boldsymbol A,\boldsymbol B+\boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} = \langle \boldsymbol A,\boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} + \langle \boldsymbol A,\boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} a \langle \boldsymbol A, c \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \overline{c} \langle \boldsymbol A,\boldsymbol B \rangle_\mathrm{F}.

Dále je hermitovská forma, neboli

: \langle \boldsymbol A,\boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \boldsymbol B,\boldsymbol A \rangle_\mathrm{F}},

a také pozitivně definitní:

: \langle \boldsymbol A,\boldsymbol A \rangle_\mathrm{F} \geq 0 a \langle \boldsymbol A,\boldsymbol A \rangle_\mathrm{F} = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol A = 0.

Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty | z |^2 = \bar z z.

Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na \R se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.

Reprezentace pomocí stopy

Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice

: \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \operatorname{tr}(\boldsymbol A^\mathrm{T} \boldsymbol B) = \operatorname{tr}(\boldsymbol B \boldsymbol A^\mathrm{T}),

kde \boldsymbol A^\mathrm{T} je matice transponovaná k \boldsymbol A. Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:

: \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \operatorname{tr}(\boldsymbol A^\mathrm{H}\boldsymbol B) = \operatorname{tr}(\boldsymbol B \boldsymbol A^\mathrm{H}),

kde \boldsymbol A^\mathrm{H} je hermitovská transpozice matice \boldsymbol A.

Přesun mezi argumenty

Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny \boldsymbol A \in \R^{l \times m}, \boldsymbol B \in \R^{m \times n} a \boldsymbol C \in \R^{l \times n}:

: \langle \boldsymbol{AB}, \boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} = \operatorname{tr}(\boldsymbol C(\boldsymbol{AB})^\mathrm{T})= \operatorname{tr}(\boldsymbol C \boldsymbol B^\mathrm{T} \boldsymbol A^\mathrm{T})= \langle \boldsymbol A, \boldsymbol{CB}^\mathrm{T} \rangle_\mathrm{F}= \langle \boldsymbol B, \boldsymbol A^\mathrm{T} \boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} .

Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny \boldsymbol A \in \C^{l \times m}, \boldsymbol B \in \C^{m \times n} a \boldsymbol C \in \C^{l \times n}:

: \langle \boldsymbol{AB}, \boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} = \langle \boldsymbol A, \boldsymbol{CB}^\mathrm{H} \rangle_\mathrm{F}= \langle \boldsymbol B, \boldsymbol A^\mathrm{H} \boldsymbol C \rangle_\mathrm{F} .

Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.

Invariance

Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic \boldsymbol A,\boldsymbol B \in \R^{m \times n}

: \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} = \langle\boldsymbol A^\mathrm{T}, \boldsymbol B^\mathrm{T} \rangle_\mathrm{F} .

Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic \boldsymbol A,\boldsymbol B \in \Complex^{m \times n} platí obdobně následující.

: \overline{\langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F}} = \langle \boldsymbol A^\mathrm{H}, \boldsymbol B^\mathrm{H} \rangle_\mathrm{F} .

Vlastnosti Frobeniovy normy

Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.

: | \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} | \leq \|\boldsymbol A \|_\mathrm{F} \, \| \boldsymbol B \|_\mathrm{F}.

Z nerovnosti vyplývá odhad

: | \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} |^2 \leq \operatorname{tr}(\boldsymbol A^\mathrm{H} \boldsymbol A) \cdot \operatorname{tr}(\boldsymbol B^\mathrm{H} \boldsymbol B).

V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.

Odhad přes singulární hodnoty

Jsou-li \sigma_1(\boldsymbol A), \ldots , \sigma_r(\boldsymbol A) singulární hodnoty \boldsymbol A a \sigma_1(\boldsymbol B), \ldots , \sigma_r(\boldsymbol B) singulární hodnoty \boldsymbol B s r = \min \{ m,n \}, pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad

: | \langle \boldsymbol A, \boldsymbol B \rangle_\mathrm{F} | \leq \sum_{i=1}^r \sigma_i(\boldsymbol A) \sigma_i(\boldsymbol B) \leq \| \boldsymbol A \|_\mathrm{F} \, \| \boldsymbol B \|_\mathrm{F},

Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Bilineární forma * Cauchyho-Schwarzova nerovnost * Norma * Skalární součin * Stopa matice

Kategorie:Teorie matic