Bodová konvergence

Bodová konvergence je v matematice jedním z druhů konvergence posloupnosti funkcí. Bodová konvergence je slabší než stejnoměrná konvergence, se kterou je často porovnává.

Definice

Předpokládejme, že (f_n) je posloupnost funkcí, které mají stejný definiční obor i obor hodnot. Oborem hodnot je obvykle množina reálných čísel, ale obecně to může být jakýkoli metrický prostor. +more Posloupnost (f_n) konverguje bodově k funkci f, píšeme.

:\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\ \mbox{bodově},

právě tehdy, když

:\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)

pro každé x z definičního oboru. Funkce f se nazývá bodová limita funkce f_n.

Vlastnosti

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí nemusí být spojitá: spojité funkce \sin^n x (vyznačené zeleně) bodově konvergují k funkci vyznačené červeně, které není spojitá v bodě \frac{\pi}{2}. +more Bodová konvergence je slabší než stejnoměrná konvergence, kterou zapisujeme.

:\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\ \mbox{stejnoměrně}

což znamená, že

:\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|; x \in A \,\}=0,

kde A je společný definiční obor funkce f a funkcí f_n. Jde o silnější podmínku, než je podmínka bodové konvergence: každá stejnoměrně konvergentní posloupnost je bodově konvergentní ke stejné limitní funkci, ale ne všechny bodově konvergentní posloupnosti jsou stejnoměrně konvergentní. +more Pokud například f_n:\langle 0,1)\rightarrow\langle0,1) je posloupnost funkcí definovaná vztahem f_n(x)=x^n, pak \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=0 bodově na intervalu \langle 0,1), ale ne stejnoměrně.

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí může být nespojitá funkce, ale pouze pokud konvergence není stejnoměrná. Například

:f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} \cos (\pi x)^{2n}

nabývá hodnoty 1, pokud x je celé číslo a 0 jinak; funkce je tedy nespojitá pro každé x, které je celým číslem.

Pro koncept bodové konvergence stačí, aby hodnoty funkcí fn byly prvky libovolného topologického prostoru. Pro stejnoměrnou konvergenci je nutná silnější podmínka, obor hodnot funkcí musí být metrický prostor nebo obecněji uniformní prostor.

Topologie

Bodová konvergence je totéž jako konvergence v součinové topologii na prostoru YX, kde X je definiční obor a Y je obor hodnot. Pokud obor hodnot Y je kompaktní, pak podle Tychonoffovy věty, je prostor YX také kompaktní.

Konvergence skoro všude

V teorii míry mluvíme o konvergenci skoro všude posloupnosti měřitelných funkcí definovaných na měřitelném prostoru. To znamená bodovou konvergenci skoro všude, tj. +more na nějaké podmnožině definičního oboru, jejíž doplněk má míru nula. Jegorovova věta říká, že bodová konvergence skoro všude na množině konečné míry implikuje stejnoměrnou konvergenci na nepatrně menší množině.

Bodová konvergence téměř všude na prostoru funkcí na prostoru s mírou nedefinuje strukturu topologie na prostoru měřitelných funkcí na prostoru s mírou (i když to je konvergenční struktura). Důvodem je, že pokud v topologickém prostoru má každá podposloupnost posloupnosti vlastní podposloupnost se stejnou limitou, musí i posloupnost sama konvergovat k této limitě.

Uvažujeme však posloupnost funkcí takzvaných „cválajících obdélníků“. Nechť N = Floor(log2 n) a k = n mod 2N. Nechť

:f_n(x)=\begin{cases} 1, & \frac{k}{2^N} \leq x \leq \frac{k+1}{2^N} \\ 0, & \text{jinak}. \end{cases}.

Pak jakákoli podposloupnost posloupnosti má pod-podposloupnost, která sama konverguje skoro všude k nule, například podposloupnost funkcí, které nemají nulovou hodnotu v bodě . Ale původní posloupnost nekonverguje bodově k nule v žádném bodě. +more Proto na rozdíl od konvergence v míře a konvergence Lp není bodová konvergence skoro všude konvergencí žádné topologie na prostoru funkcí.

Odkazy

Reference

Související články

Stejnoměrná konvergence * Metrický prostor * Druhy konvergence

Kategorie:Teorie míry Kategorie:Konvergence (matematika) Kategorie:Topologické prostory