Cesko.wiki Catalanova věta
Author
Albert FloresCatalanova věta je matematické tvrzení, které se týká trigonometrických funkcí. Tato věta je pojmenována po francouzském matematikovi Édouardu Catalanovi a popisuje závislost mezi různými trigonometrickými funkcemi. Hlavní myšlenka věty spočívá v tom, že dvoustranná nerovnost mezi funkcemi sin a cos může být vždy převedena jako nerovnost mezi stejnými funkcemi. Tedy sin x/sin y ≤ cos x/cos y pro každé x a y. Tato věta má široké uplatnění v různých oblastech matematiky, včetně analytické geometrie, teorie čísel a matematické analýzy. Catalanova věta je důležitým nástrojem pro vyvozování různých matematických vztahů a je často používána při dokazování dalších tvrzení a rovnic.
Catalanova věta (občas nazývaná jako Mihăilescova věta) je matematická věta v teorii čísel vyslovená matematikem Eugène Charlesem Catalanem v roce 1844 a dokázaná roku 2002 Predem Mihăilescu.
Vezměme dvě čísla z množiny přirozených čísel 23 a 32 s hodnotami 8 a 9 po umocnění, jedná se tedy o dvě po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel. Domněnka říká, že toto jsou jediné po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel, tedy jediné řešení diofantické rovnice :xa − yb = 1 ležící v množině přirozených čísel. +more Pro x, a, y, b > 1 je x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
Historie
Historie tohoto problému se datuje přinejmenším k Levi ben Gershonovi, který ukázal speciální případ roku 1343 kde x a y byla omezena na hodnoty 2 nebo 3.
Roku 1974, Robert Tijdeman aplikoval metodu z teorie transcendentních čísel aby ukázal že existuje konstanta C taková, že exponenty po sobě jdoucích mocnin jsou menší než C. Vzhledem k tomu, že výsledky práce ostatních matematiků ukázaly, že C je vázána na zmíněné exponenty, byla udána podmínka, že věta platí na omezený počet případů. +more Nicméně pro dokončení důkazu byl potřeba silný výpočetní výkon a mnoho času.
Catalanova věta byla dokázána roku 2002 Predou Mihăilescuem a od té doby se nazývá Mihăilescova věta. Důkaz byl publikován v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik roku 2004 a využívá oblastí jako jsou cyklotomická tělesa a Galoisova korespondence.
Pillaisova domněnka
Pillaisova domněnka se týká rozdílu mocnin. Říká, že posloupnost rozdílů mocnin diverguje k nekonečnu, pokud se každý rozdíl opakuje v konečně mnoha opakováních. +more Jde o otevřený problém pojmenovaný po indickém matematikovi S. S. Pillai.
Paul Erdős se domníval, že existuje nějaké kladné C takové, že pokud d - rozdíl mocnin n, pak d>nc pro dostatečně velké n.
Související články
Tijdemanova věta * Størmerova věta * Fermatova-Catalanova domněnka * Bealova domněnka
Reference
. MathSciNet Featured Review MathSciNet - id = 2076124. * Predates Mihăilescu's proof.
Externí odkazy
[url=https://web. archive. +moreorg/web/20021001173550/http://www. maa. org/mathland/mathtrek_06_24_02. html]Ivars Peterson's MathTrek[/url] * Jeanine Daems: [url=https://web. archive. org/web/20060221125555/http://www. math. leidenuniv. nl/~jdaems/scriptie/Catalan. pdf]A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture[/url].