Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy

Technology

12 hours ago

Author

Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy je parciální diferenciální rovnice, která vychází ze zachování hybnosti v kontinuu. Platí pro transport hybnosti v libovolném kontinuu, kde se neuplatňují relativistické jevy.

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \nabla \cdot \vec \vec {\sigma} + \mathbf{f}

Kde \rho je hustota kontinua, \vec \vec {\sigma} je tenzor napětí a \mathbf{f} je vektor objemových sil, obvykle představovaných gravitací. \mathbf{v} je vektorové pole rychlostí kontinua a má za proměnné čas a souřadnice systému.

Po rozložení tenzoru napětí na odborných izotopových a neizotropnú část, získáme:

:\nabla \cdot \vec \vec {\sigma} = -\nabla p + \nabla \cdot \vec \vec {\tau}

Kde \scriptstyle \vec \vec {\tau} je tenzor viskózního (tangenciálního) napětí a \scriptstyle {p} je tlak (normálové napětí).

Všechny rovnice popisující nerelativistické kontinuum vycházejí z Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy. Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy je jednou ze základních rovnic popisujících transportní fenomény. +more Při praktickém použití narážíme na překážky - analytické vyjádření tenzoru napětí je složité, nebo neznámé, proto se rovnice přímo nepoužívá. Po dosazení patřičného vztahu pro viskozitu dostaneme Navierovu-Stokesovu rovnici.

Pokud je kontinuum ideální (napětí je představováno pouze tlakem),

ve stacionárním stavu (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0)

a mimo gravitačního působení (\mathbf{f}=0) získáme rovnici:

:\rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p

Tato rovnice je Bernoulliho rovnice v diferenciálním tvaru a po integraci dostaneme konvenční tvar:

: p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2

Vidíme tak, že Bernoulliho rovnice je důsledkem zachovávání hybnosti v soustavě, pokud vyhovuje některým zjednodušením.

Odvození Cauchyho rovnice

Napíšeme si zákon síly pro element objemu V, pokud \Sigma je plocha, která ho obepíná:

:dm a_i = dF_i\,

:\rho \int_V \frac{d v_i}{d t} \, dV = \oint_{\Sigma} {\sigma_{ij}} \, dS + \int_V f_i \, dV

Po aplikaci Gaussovy-Ostrogradského věty a sečtení všech složek dostaneme

:\rho \frac{ d \mathbf{v}}{d t} = \nabla \cdot \vec \vec {\sigma} + \mathbf{f}

Jelikož vektorové pole rychlosti \mathbf{v}(\mathbf{r},t) je závislé na poloze i od času, derivuje se složená funkce:

:\frac{ d \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{d t} = \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial \mathbf{r}} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \nabla \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{r},t)

Po dosazení do odvozené rovnice zachování:

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \nabla \cdot \vec \vec {\sigma} + \mathbf{f}

Q.E.D.