Bernoulliho rovnice

Technology

12 hours ago

Author

Bernoulliova rovnice je vztah užívaný v mechanice tekutin, který odvodil Daniel Bernoulli a který vyjadřuje zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny (Energie je v rovnici obvykle přepočtena na objemovou jednotku kapaliny.).

:\frac{1}{2} \rho v^2 + p + \rho u(\mathbf{x}) = \mathrm{konst.}

kde \rho je hustota kapaliny, v je rychlost proudění, p je tlak v kapalině a u je potenciál vnějšího konzervativního pole objemové síly (gravitační síly, unášivé setrvačné síly nebo jejich kombinace, jako je tíhová síla) v daném bodě. První člen v Bernoulliově rovnici se nazývá dynamický n. +more kinetický tlak a představuje objemovou hustotu kinetické energie, druhý člen představuje tlakovou potenciální energii objemové jednotky kapaliny a třetí člen potenciální energii objemové jednotky kapaliny v silovém poli vnější konzervativní síly, v němž se kapalina nachází. Součet kinetické energie a potenciální energie (tlakové + vnější) v jednotce objemu je ve všech místech kapaliny stejný. Tato rovnice bývá často uváděna ve tvaru, který platí pro homogenní tíhové pole:.

:\frac{1}{2} \rho v^2 + p + \rho g h = \mathrm{konst.}

Platí, že pokud na kapalinu v klidu působí tíhová síla, je ve stejné hloubce v každém bodě stejný tlak. Pokud je kapalina v pohybu tak tento vztah neplatí. +more Slovy můžeme Bernoulliho jev popsat takto: v místě s větším průřezem má proudící kapalina větší tlak, ale menší rychlost, zatímco v místě s menším průřezem má menší tlak, ale větší rychlost (Fakt, že při větším průřezu je rychlost kapaliny menší, je důsledkem rovnice kontinuity. ).

Odvození pro nestlačitelnou kapalinu

Diagram k odvození Bernoulliho rovnice +more_Бернулиев_закон_-_прилепување_хартија_со_дување. ogv|náhled|vpravo'>280px| Pokud kapalina o elementu hmotnosti \mathrm{d}m proudí ve vodorovné trubici o průřezu S rychlostí v, platí pro ni pohybová rovnice:.

: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{d}m\,v\right) = -\mathrm{d}F.

Rozepíšeme tuto rovnici tak, aby v ní vystupovala hustota a průřez trubice

:\rho S \,\mathrm{d}x \,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -S\,\frac{\mathrm{d}F}{S}=-S\,\mathrm{d}p.

S využitím vztahu

:\mathrm{d}x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}v= v\mathrm{d}v= \mathrm{d}\left(\frac{v^2}{2}\right)

tato rovnice přejde na

:\rho S \,\mathrm{d}\left(\frac{v^2}{2}\right) = -S\,\mathrm{d}p,

tedy

:\mathrm{d}\left(\frac{\rho v^2}{2}+p\right) = 0,

což zintegrováním dá

:\rho \frac{v^2}{2}+ p = \mathrm{konst.}

Pokud se navíc nacházíme v poli nějaké vnější konzervativní objemové síly (např. gravitace), přičteme jeho potenciál \rho u (na jednotku objemu) k tlakovému potenciálu, čímž přímočaře získáme rovnici

:\rho \frac{v^2}{2}+ p + \rho u(\mathbf{x}) = \mathrm{konst.}

Poněkud přímější odvození vychází ze zákona zachování energie. U kapalin uvažujeme potenciální energii tlakovou Ep = pV.

Za předpokladu, že Ek + Ep + Eg = konst., potom platí

:\frac12 m v^2 + p V + m g h= \mathrm{konst.}

vztažením energie na jeden kilogram kapaliny (vydělením hmotností) dostaneme tzv. energetický tvar rovnice:

:\frac12 v^2 + {p\over \rho} + g h = \mathrm{konst.}

nebo (vydělením objemem) tlakový tvar:

:\frac12 \rho v^2 + p + \rho g h= \mathrm{konst.}

případně původní výškový tvar (vydělením tíhou): :{v^2\over 2g} + {p\over \rho g} + h= \mathrm{konst.}

Důsledky

Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že statický tlak proudící kapaliny klesá s rostoucí rychlostí. Pokud plyn proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. +more Tomuto jevu se říká hydrodynamický paradox (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u rozprašovačů, natěračských stříkacích pistolí, ejektorů nebo v karburátoru.

Výtoková rychlost Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokovou rychlost kapaliny při vytékání malým otvorem z nádoby s hladinou ve výšce h, neboť lze říci, že výtoková rychlost ideální kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky h:

:v = \sqrt{2gh} : - tzv. Torricelliho vzorec