Cauchyova–Goursatova věta

Cauchyova-Goursatova věta (také Cauchyova věta nebo Cauchyova věta o integrálech) je věta z oblasti komplexní analýzy. Říká, že integrály holomorfních funkcí po uzavřených křivkách jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 Augustin Louis Cauchy a později ji zobecnil Edouard Goursat. Jedním z důsledků věty je Cauchyův vzorec, umožňující počítat hodnoty holomorfních funkcí uvnitř nějaké oblasti z hodnot na její hranici.

Věta zní takto: Nechť G je jednoduše souvislá a otevřená množina komplexních čísel a f je holomorfní funkce definovaná v G. Nechť C je Jordanova křivka (tj. +more jednoduchá uzavřená rektifikovatelná křivka) v G, která je po částech hladká. Pak integrál f po křivce C se rovná nule. Zapsáno rovnicí:.

:\oint_C f(z)\,dz = 0.

Nejjednodušší důkaz se zakládá na tom, že se integrál rozepíše na reálnou a imaginární část, pomocí Greenovy věty převede na integrál přes vnitřek křivky C a na základě Cauchyho-Riemannových podmínek se ukáže, že integrand se rovná konstantně nule. Jestliže tedy \displaystyle f=u+iv a \displaystyle dz=dx+i\,dy , pak

:\oint_C f(z)\,dz = \oint_C (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_C (u\,dx-v\,dy) +i\oint_C (v\,dx+u\,dy).

Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty:

:\oint_C (u\,dx-v\,dy) = \iint_{vnit. C} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy, :\oint_C (v\,dx+u\,dy) = \iint_{vnit. +more C} \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy,.

přičemž integrandy jsou podle Cauchyho-Riemannových podmínek nulové, čímž je tvrzení dokázáno.

Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti integrálů po uzavřených křivkách vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá Morerova věta.

Větu lze dále zobecnit pro případ, že uvnitř křivky C se nacházejí oblasti, na kterých funkce f není holomorfní nebo není definovaná, ale tyto oblasti jsme schopni omezit po částech hladkými Jordanovými křivkami. Obecná Cauchyova-Goursatova věta zní:

Nechť C a C1, . , Cn jsou po částech hladké a souhlasně orientované Jordanovy křivky, nechť C1, . +more, Cn leží uvnitř C a vnitřky křivek C1, . , Cn jsou navzájem disjunktní. Nechť f je holomorfní na křivce C a na jejím vnitřku s případnou výjimkou vnitřků křivek C1, . , Cn. Pak platí.

:\oint_{C} f(z) \mathop{\mathrm dz} = \sum_{i = 1}^{n} \oint_{C_i} f(z)\mathop{\mathrm dz}.

Externí odkazy

Kategorie:Komplexní analýza Kategorie:Integrální počet Kategorie:Augustin Louis Cauchy