Cavalieriův princip

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Cavalieriho princip použitý pro výpočet objemu koule Cavalieriův princip neboli princip Cavalieriho je poznatek stereometrie používaný při výpočtu objemu těles a pojmenovaný po svém objeviteli, italském matematikovi Bonaventurovi Cavalierim (1598 - 1647). Cavalieriho princip ve třírozměrném případě říká, že tělesa se stejně velkými podstavami a výškami mají stejný objem, pokud mají řezy rovnoběžné s podstavami a vedené ve stejné vzdálenosti od podstav stejné obsahy. Ve dvourozměrném případě Cavalieriův princip tvrdí rovnost obsahu dvou rovinných obrazců, pokud úsečky rovnoběžné s osou souřadné soustavy, které je protínají ve shodné výšce, mají vždy stejnou délku.

Odvození

Z moderního pohledu jde o důsledek Fubiniovy věty integrálního počtu.

Příklad

Cavalieriův princip lze použít například pro výpočet objemu koule elementárními prostředky, jak je znázorněno na animaci. Nejdříve ukážeme, že polokoule o poloměru R má stejný objem jako válec s podstavou o poloměru R a o výšce R, z něhož je vyříznut obrácený kužel tak, jak ukazuje vyobrazení. +more Podstavy i výšky obou těles se rovnají a rovnají se i obsahy řezů v kterékoli výšce v nad podstavou. U polokoule je řez kruhový, jehož poloměr je podle Pythagorovy věty r = \sqrt{R^2 - v^2}, a má tedy plochu S_k = \pi r^2 = \pi (R^2 - v^2) . Řez vyříznutého válce je mezikruží s plochou S_v = \pi R^2 - \pi v^2 = \pi (R^2 - v^2), a to je stejné jako obsah řezu polokoule S_k. Platí tedy předpoklady Cavalieriho principu, a to znamená, že obě tělesa na obrázku mají stejný objem. Objem vyříznutého válce je rozdílem objemu válce a objemu kužele: V_v = \pi R^3 - \frac{\pi}{3} R^3 = \frac{2 \pi}{3} R^3. Objem celé koule je tedy dvojnásobný: V_{koule} = \frac{4 \pi}{3} R^3, což je správný vzorec pro objem koule.