Centrální moment

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo k je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje \mu_k.

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny X je definován vzorcem

:\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right],

kde \mu je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

:\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i,

kde p_i je pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty x_i.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

:\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x,

kde f(x) je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem \sigma^2 nebo \operatorname{var}\,X.

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

:\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)

Pro násobení konstantou platí

:\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)

Pro k\leq 3 a nezávislé náhodné veličiny X, Y platí

:\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

:\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime,

kde \mu je střední hodnota a \mu_i^\prime je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

\begin{align} M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2 \\ M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3 \\ M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2 \\ \end{align}

Odkazy

Reference

Kategorie:Charakteristiky náhodné veličiny

Moment centré