Cykloida

Prostá cykloida

Prostá cykloida Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky: :x = a (t - \sin t), :y = a (1 - \cos t), kde a je poloměr kružnice a parametr t je úhel otočení kutálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru :x = a \arccos \frac{a-y}{a} - \sqrt{y(2a-y)} pro x\in\langle 0,\pi a \rangle, resp. +more :x = a\left(2\pi - \arccos\frac{a-y}{a}\right) + \sqrt{y(2a-y)} pro x\in\langle \pi a,2 \pi a\rangle.

Perioda cykloidy je 2\pi a.

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu [x(t),y(t)] pro t\in\langle 0,2 \pi \rangle je :s = 4a\left(1-\cos\frac{t}{2}\right). Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz :s=8a.

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je :S = 3\pi a^2.

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je :R = 4a \left|\sin\frac{t}{2}\right|,

takže poloměr křivosti ve vrcholu je maximální: :R = 4a.

Nejjednodušší přirozená rovnice prosté cykloidy je

:R^2+s^2= 16a^2, s\in\langle -4a,+4a \rangle,

kde však oblouk s počítáme od vrcholu.

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy x posunuta o \pi a souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy y je posunuta o 2a nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

Zkrácená a prodloužená cykloida

Zkrácená cykloida +morepng|náhled'>Prodloužená cykloida Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru a je d, pak pro d získáme cykloidu zkrácenou a pro d>a cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru :x = a t - d \sin t :y = a - d \cos t

Vlastnosti

Prostá cykloida má nekonečně mnoho hrotů. * Všechny prosté cykloidy mají stejný tvar, jsou podobné. +more * Zkrácená cykloida má nekonečně mnoho inflexních bodů. * Prodloužená cykloida má nekonečně mnoho uzlů (dvojných bodů). * Oblouk cykloidy snese ze všech oblouků největší zatížení, proto mnoho oblouků mostů má právě její tvar. * Část cykloidy je řešením úlohy o brachistochroně.

Související články

Cyklická křivka * Brachistochrona

Externí odkazy

[url=http://videacesky. cz/video/vsauce-jak-vyrobit-brachistochronu]Jak vyrobit brachistochronu (video)[/url] * [url=http://www. +morepf. jcu. cz/cabri/temata/CYKLOIDY/index. html]Cykloidy v Cabri[/url] * [url=http://dagles. klenot. cz/rihova/krivky. html]Cyklické pohyby (teorie, obrázky v Gnuplotu)[/url].

Kategorie:Rovinné křivky