Cesko.wiki Dedekindův řez
Author
Albert FloresDedekindův řez je pojmem z teorie množin, který byl zaveden německým matematikem Richardem Dedekindem. Jedná se o metodu konstrukce reálných čísel pomocí rozdělení množiny racionálních čísel na dvě disjunktní části. Dedekindův řez je dvojice množin (A, B), kde A a B jsou podmnožiny množiny racionálních čísel, splňující následující podmínky: 1. Neprázdnost: A a B jsou neprázdné množiny. 2. Uzavřenost: Pokud a je prvkem množiny A a b je prvkem množiny B, pak a < b. 3. Úplnost: Pro každý prvek a z množiny A existuje prvek b z množiny B takový, že a < b. Dedekindův řez lze interpretovat jako oddělení racionálních čísel na "levou" a "pravou" část, přičemž mezi těmito částmi je "mezera". Kombinací těchto dvou řezů lze pak sestrojit všechna reálná čísla. Dedekindův řez je základním konceptem pro konstrukci reálných čísel v matematice a má důležité aplikace například v analýze a teorii čísel.
Definice \sqrt{2} pomocí Dedekindových řezů
Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel. Pojem je pojmenován po německém matematikovi Richardu Dedekindovi, jako první však reálná čísla s pomocí této konstrukce definoval francouzský matematik Joseph Bertrand v roce 1849.
Definice
Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.
Motivace
V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny - každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.
Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina" \subseteq \,\! .
Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.
Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu - to znamená, aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.
Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze ji použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.
Konstrukce zúplnění
Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.
Množina S_A \,\. všech stabilních podmnožin nějaké množiny A \,\. +more je úplný svaz. To znamená, že je uzavřen na suprema a infima - je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc, pokud je A \,\. lineárně uspořádaná, pak je také S_A \,\. lineárně uspořádaná (relací \subseteq \,\. ).
Definujeme-li zobrazení f: A \implies S_A \,\. předpisem f(x) = \{ y \isin A : y \leq x \} \,\. +more , dostáváme izomorfní vnoření A \,\. do S_A \,\. . Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v A \,\. . Pokud v A \,\. neexistovala, pak v S_A \,\. již (pro izomorfní obraz) existují.
Speciálně pro racionální čísla Q \,\! je S_Q \,\! izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.
Příklady
Množina A_1 = \{ x \isin Q : x má supremum v Q \,\. - platí sup A_1 = 1 \,\. +more . Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu S_1 = \{ f(x) \isin S_Q : f(x) a její supremum je (-\infty,1] = f(1) \,\. . Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.
Množina A_2 = \{ x \isin Q : x^2 nemá v Q \,\. supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v S_Q \,\. +more získá: S_2 = \{ f(x) \isin S_Q : f(x^2) má supremum sup S_2 = (-\infty,\sqrt{2}] \,\. , které není obrazem žádného prvku z Q \,\. .
Vysvětlení pro laiky
Jednoduše řečeno, Dedekindův řez je zákonitost, která říká, že když „řízneme“ do číselné osy v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází. Neplatí tedy u všech číselných oborů.