Dihedrální grupa

Technology
12 hours ago
8
4
2
Avatar
Author
Albert Flores

Dihedrální grupa je pojem z algebry, který označuje grupu shodností pravidelného mnohoúhelníka (otočení a osové souměrnosti). Dihedrální grupy patří mezi jednoduché příklady (nekomutativních) konečných grup a hrají důležitou roli v teorii grup, geometrii a chemii.

...
...

Vlastnosti

Prvky

pravidelného šestiúhelníka Pravidelný n-úhelník má celkem 2n různých shodností, které ho zachovávají: n otočení a n osových souměrností. +more Ty tvoří prvky dihedrální grupy D_n. Pro lichá n spojují osy souměrností vždy střed strany s protilehlým vrcholem. Pro sudá n prochází polovina os vždy středy dvou protilehlých stran a druhá polovina os spojuje protilehlé vrcholy. V obou případech je shodností dohromady stejně jako vrcholů. Složením dvou osových souměrnosti je rotace o dvojnásobek úhlu, který tyto osy svírají.

Na následující sérii obrázků jsou všechny možné shodnosti osmiúhelníku, v první řadě otočení a v druhé řadě osové souměrnosti (místo označení vrcholů je za účelem identifikace zobrazení použit obrázek stopky):

Zobrazení dihedrální grupy pro dopravní značku

Grupová operace

rovnostranného trojúhelníka Složení dvou shodností pravidelného mnohoúhelníka dává opět shodnost. +more Toto skládání je grupová operace. Následující Cayleyova tabulka obsahuje všechna možná složení shodností rovnostranného trojúhelníka. R₀ značí neutrální prvek, R₁ a R₂ jsou otočení proti směru hodinových ručiček o 120° a 240° a S₀, S₁ a S₂ jsou osové souměrnosti označené na obrázku vpravo.

R0R1R2S0S1S2
R0R0R1R2S0S1S2
R1R1R2R0S1S2S0
R2R2R0R1S2S0S1
S0S0S2S1R0R2R1
S1S1S0S2R1R0R2
S2S2S1S0R2R1R0

Je vidět, že dihedrální grupa D₄ není komutativní, což platí pro všechny indexy kromě 1 a 2.

5 min read
Share this post:
Like it 8

Leave a Comment

Please, enter your name.
Please, provide a valid email address.
Please, enter your comment.
Enjoy this post? Join Cesko.wiki
Don’t forget to share it
Top