Pravidelný mnohoúhelník

{{Infobox - mnohoúhelník | název = Pravidelné konvexní mnohoúhelníky | obrázek = | obsah = S = \tfrac14ns^2 \cot \frac{\pi}{n} s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů | grupa symetrie = Dihedrální (Dn) | opsaná = | vepsaná = | úhel = \left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180^\circ | součet úhlů = \left(n-2\right)\times 180^\circ | úhlopříčka = }}

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

* Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu. +more * Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla. * Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické. * Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Galerie

Image:Polig 03b. svg|Rovnostranný trojúhelník Image:Polig 04b. +moresvg|Čtverec Image:Polig 05b. svg|Pětiúhelník Image:Polig 06b. svg|Šestiúhelník Image:Polig 07b. svg|Sedmiúhelník Image:Polig 08b. svg|Osmiúhelník Image:Polig 09b. svg|Devítiúhelník Image:Polig 10b. svg|Desetiúhelník Image:Polig 11b. svg|Jedenáctiúhelník Image:Polig 12b. svg|Dvanáctiúhelník Image:Polig 13b. svg|Třináctiúhelník Image:Polig 14b. svg|Čtrnáctiúhelník.

Úhly

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

:(1-\frac{2}{n})\times 180 (neboli (n-2)\times \frac{180}{n} ) stupňů :neboli \frac{(n-2)\pi}{n} radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký \frac{360}{n} stupňů.

Úhlopříčky

Pro n > 2 je počet úhlopříček \frac{n (n-3)}{2}.

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

::r=\frac{s} {2 \sin{ \frac{180}{n} }}

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

::\varrho =\frac{s} {2 \tan{ \frac{180}{n} }}

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané \varrho je:

: S= \frac{1}{4}ns^2\text{cotg}{\tfrac{\pi}{n}} = \frac{1}{2}nr^2\sin{\tfrac{2\pi}{n}} = \frac{1}{2}n s \varrho

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. +more Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

* pentagram - {5/2} * hexagram - {6/2} * heptagram - {7/2} a {7/3} * oktagram - {8/2} a {8/3} * enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4} * dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4} * hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5} * dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}

Reference

Literatura

Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, str. 34-37

Externí odkazy

Kategorie:Mnohoúhelníky