Dynkinův systém

Dynkinův systém, je pojem z teorie míry a teorie pravděpodobnosti, podoborů matematiky. Rozumí se jím systém podmnožin dané množiny, který splňuje tři axiomy o něco slabší než axiomy požadované od používanějších σ-algeber. Sám Jevgenij Borisovič Dynkin, rusko-americký matematik, po kterém jsou pojmenovány, je označoval za λ-systémy.

Definice

Nechť je \Omega neprázdná množina a D je podmnožina její potenční množiny, tedy množina některých podmnožin \Omega. Pak je D Dynkinův systém, pokud:

# \Omega \in D, # pokud A,B\in D a A\subseteq B, pak i B\setminus A \in D (s množinou a podmnožinou tam patří i jejich rozdíl) a # pokud A_1,A_2,A_3,\dots je posloupnost podmnožin D a A_n\subseteq A_{n+1} pro všechna n\ge 1, pak \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in D.

Alternativní definice

Ekvivalentní definice má za stejných předpokladů tyto tři podmínky:

# \Omega \in D, # pokud A\in D, pak i A^C \in D a # pokud A_1,A_2,A_3,\dots je posloupnost podmnožin D a A_i\cap A_j = \emptyset pro všechna i \neq j, pak \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in D.

Další možnou kombinací podmínek je: # \Omega \in D, # pokud A,B\in D a A\subseteq B, pak i B\setminus A \in D a # pokud A_1,A_2,A_3,\dots je posloupnost podmnožin D a A_i\cap A_j = \emptyset pro všechna i \neq j, pak \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in D.

Reference

Kategorie:Teorie míry