Galoisova grupa

Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.

Definice

Nechť E je rozšíření tělesa F (zapisuje se jako E/F). Automorfizmus E/F je takový automorfizmus \alpha tělesa E, který zachovává všechny prvky F, tj. +more \alpha(x)=x pro každé x\in F. Množina všech automorfizmů E/F spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se Gal(E/F), anebo Aut(E/F).

Příklady

Gal(\Complex/\R) obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení. * Nechť F=\Q je těleso racionálních čísel a E=\Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2};\,\,a,b\in\Q\}. +more Pak Gal(E/F) obsahuje identitu a zobrazení a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}. * Nechť p je prvočíslo a E=GF(p^n) je Galoisovo těleso o p^n prvcích, F\simeq GF(p) jeho nejmenší podtěleso. Pak Gal(E/F) je cyklická grupa řádu p. * Nechť p je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně n, E jeho rozkladové těleso a nechť p má v E právě dva nereálné kořeny. Pak Gal(E/F) (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu p) je izomorfní symetrické grupě S_n. Její prvky permutují kořeny polynomu p.

Vlastnosti

Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům F\subseteq X\subseteq E. Tato korespondence přiřadí podgrupě H podtěleso E, které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření E/F uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.

Reference

Kategorie:Teorie grup