Cesko.wiki Hahnova–Banachova věta
Author
Albert FloresHahnová-Banachova věta je matematická věta, která se zabývá existence spočetně aditivních a spočetně homogenních funkcí nad reálným nebo komplexním prostorum. Tato věta je pojmenována po matematikovi Hansi Hahnovi a Stefanu Banachovi, kteří ji formulovali v roce 1927 založenou na práci Erharda Schmidta z roku 1913. Hahnová-Banachova věta je pro svou všeobecnost považována za jednu z nejdůležitějších vět funkcionální analýzy. Věta je často aplikována v různých oblastech matematiky a fyziky.
Hahnova-Banachova věta je věta z funkcionální analýzy, která tvrdí, že za jistých podmínek lze lineární funkcionál definovaný na nějakém podprostoru rozšířit na celý prostor tak, že se přitom nezmění jeho norma. Větu uveřejnili Hans Hahn a Stefan Banach koncem 20. let 20. století.
Existuje celá řada vzájemně více či méně ekvivalentních formulací této věty či jejích blízkých důsledků, které se často označují rovněž jako Hahnova-Banachova věta. Zde uvádíme formulaci, kterou použil Walter Rudin v knize Analýza v reálném a komplexním oboru:
Nechť M je podprostor normovaného lineárního prostoru X a f je omezený lineární funkcionál na M. Potom existuje omezený lineární funkcionál F na prostoru X, který je rozšířením f a platí \|f\| = \|F\|.
Slovo rozšíření zde znamená, že M patří do definičního oboru funkcionálu F a oba funkcionály se na tomto podprostoru rovnají. Norma funkcionálu \|f\| se definuje jako supremum podílu |f(x)| / \|x\| přes všechny nenulové body x definičního oboru. +more Hahnova-Banachova věta v této formulaci nevyžaduje, aby podprostor M byl uzavřený, a platí bez ohledu na to, zda použité skaláry jsou reálná čísla či komplexní čísla.
Reference
Literatura
Hans Hahn : Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. +more 214-229. * Stefan Banach : Sur les fonctionnelles linéaires. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211-216.