Imaginární jednotka

Imaginární jednotka na číselné ose. Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené \mathrm{i} (někdy též \mathrm{j} nebo 𝕚), které rozšiřuje obor reálných čísel ℝ na obor čísel komplexních ℂ. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. +more Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek \mathrm{i}, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako \mathrm{j} místo \mathrm{i}, protože \mathrm{i} se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

Definice

Podle definice imaginární jednotka \mathrm{i} je řešením rovnice

:x2 = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s \mathrm{i} jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty \mathrm{i}^2 číslem −1.

i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je \mathrm{i}, je také řešením této rovnice -\mathrm{i} (\ne \mathrm{i}). +more Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí \mathrm{i}, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní \mathrm{i}“.

Upozornění

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako \sqrt{-1}, ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

:-1 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \neq \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1

Kalkulační pravidlo :\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. +more Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako: :\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2\mathrm{i}.

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i

Mocniny \mathrm{i} se cyklicky opakují:

:\mathrm{i}^0 = 1 :\mathrm{i}^1 = \mathrm{i} :\mathrm{i}^2 = -1 :\mathrm{i}^3 = -\mathrm{i} :\mathrm{i}^4 = 1 :\mathrm{i}^5 = \mathrm{i} :\mathrm{i}^6 = -1

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

:\mathrm{i}^{4n} = 1 :\mathrm{i}^{4n+1} = \mathrm{i} :\mathrm{i}^{4n+2} = -1 :\mathrm{i}^{4n+3} = -\mathrm{i}

i a Eulerův vzorec

Vezmeme Eulerův vzorec e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\sin x, a dosazením \pi/2 za x dostaneme

:e^{\mathrm{i}\pi/2} = \mathrm{i}

Jestliže obě strany umocníme na \mathrm{i}, a využijeme \mathrm{i}^2 = -1, získáme následující rovnost:

:\mathrm{i}^\mathrm{i} = e^{-\pi/2} = 0{,}207\,875\,763\dots

Ve skutečnosti je snadné určit, že \mathrm{i}^\mathrm{i} má nekonečný počet řešení ve tvaru

:\mathrm{i}^\mathrm{i} = e^{-\pi/2 + 2\pi N}

Z Eulerova vzorce lze dosazením \pi za x odvodit Eulerovu identitu

:e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0.

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a+\mathrm{i}b, kde a a b jsou reálná čísla.

Odkazy

Související články

Komplexní číslo * Komplexní jednotka * Hyperkomplexní číslo

Externí odkazy

Kategorie:Algebraická čísla Kategorie:Matematické konstanty Kategorie:Komplexní čísla Kategorie:Matematické symboly