Cesko.wiki Integrální rovnice
Author
Albert FloresIntegrální rovnice je v matematice taková rovnice, v níž se neznámá funkce nachází pod integrálem. Integrální rovnice úzce souvisejí s diferenciálními rovnicemi a některé problémy mohou být formulovány oběma způsoby (např. Maxwellovy rovnice).
Za zakladatele teorie integrálních rovnic se považuje Erik Ivar Fredholm, později k ní významně přispěl Vito Volterra.
Klasifikace integrálních rovnic
Integrální rovnice lze rozdělit na dvě základní třídy: Fredholmovy integrální rovnice a Volterrovy integrální rovnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí proměnné x.
Další dělení je na rovnice prvního a druhého druhu. V rovnicích prvního druhu se neznámá funkce nachází jen pod integrálem, v rovnicích druhého druhu se nachází pod integrálem i mimo integrál.
Fredholmovy rovnice prvního druhu
Nejzákladnějším typem integrálních rovnic jsou Fredholmovy rovnice prvního druhu. Jsou to integrální rovnice tvaru
: f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt,
kde \varphi je neznámá funkce, f je známá funkce a K je další známá funkce dvou proměnných, často nazývaná jádro (jaderná funkce). Integrál má pevné meze.
Fredholmovy rovnice druhého druhu
Fredholmovy rovnice druhého druhu jsou rovnice s konstantním rozsahem integrace a s neznámou funkcí nacházející se jak v integrandu, tak i mimo něj. Jsou to integrální rovnice tvaru
: \varphi(x) = f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.
Číslo \lambda je neznámý parametr, který hraje stejnou roli jako vlastní číslo v lineární algebře. Význam ostatních symbolů je stejný, jako u rovnic prvního druhu.
Volterrovy rovnice prvního druhu
Volterrovy rovnice prvního druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic prvního druhu, ve kterém je jedna z hranic integračního rozsahu funkcí proměnné x. Volterrovy rovnice prvního druhu mají tvar:
: f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.
Volterrovy rovnice druhého druhu
Volterrovy rovnice druhého druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic druhého druhu. Jedna z hranic integračního rozsahu je funkcí proměnné x. Rovnice tohoto typu mají tvar:
: \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.