Kvadratura kruhu

Kruh a čtverec o stejném obsahu. Kruhu o poloměru 1 odpovídá čtverec se stranou \sqrt{\pi}

Kvadratura kruhu je úloha sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu, a to pouze pomocí pravítka a kružítka. Je to jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou zdvojení krychle a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). +more Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou geometricky neřešitelné. Od nejstarších dob se však užívala různá přibližná řešení.

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy kvadratura kruhu zní v jazyce moderní matematiky takto:

Poněkud méně formálně:

Klíčová je podmínka, že to má být euklidovská konstrukce, čili používat jen pravítka a kružítka.

Historie

Problém je zřejmě tak starý jako geometrie sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. +more Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit Archimédovu spirálu, pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.

Důkaz neřešitelnosti

Označme a stranu čtverce a r poloměr kruhu. Řešíme problém a^2=\pi*r^2. Pokud zvolíme kruh o poloměru r = 1, pak a^2=\pi, a tedy |a|=\sqrt\pi .

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla \sqrt{\pi}. Problém je, že toto číslo je transcendentní. +more Neboli není algebraické, a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla \pi byla dokázána roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem. Pokud by někdo měl vyřešit kvadraturu kruhu, musel by k tomu nutně nalézt algebraickou hodnotu \pi, což není možné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, je kvadratura také možná. I když kvadratura kruhu není uskutečnitelná v Euklidově prostoru, je možná v Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru. +more Přibližné řešení obsahu kruhu (papyrus Rhind, asi 1650 př. n. l. ).

Přibližná řešení

Úloha obsahu kruhu, kterou můžeme chápat jako předchůdce kvadratury kruhu, se vyskytuje i v praxi, kde většinou vystačíme s přibližným řešením, které může být i velmi blízké přesné hodnotě řešení. Nejjednodušší přibližné řešení nahrazuje kruh nepravidelným osmiúhelníkem (viz obr. +more), jehož plocha je zřejmě 7, ač plocha kruhu o poloměru 1,5 je asi 7,07. Takto odhadnuté pí má hodnotu 28/9 neboli 3,111. . Chyba přiblížení je přibližně -1,2 %.

Staroegyptský Rhindův papyrus, datovaný kolem +more_l. '>1650 př. n. l. , vyjadřuje poměr obsahu kruhu a opsaného čtverce jako 64/81, což odpovídá hodnotě pí 256/81, neboli přibližně 3. 16.

Podstatně lepší přiblížení nalezl Archimédés (287-212 př. n. +more l. ), který místo obsahu kruhu hledal jeho obvod. Přibližoval se k němu posloupností pravidelných mnohoúhelníků o stále větším počtu stran a správně předpokládal, že obvod kruhu musí ležet mezi obvodem vepsaného a opsaného mnohoúhelníka. Jeho výsledný údaj byl, že obvod kruhu je větší než 3+10/71 a menší než 3+10/70, což odpovídá hodnotě čísla \pi mezi 3,1408 a 3,1428, přibližně tedy 3,1419. Chyba jeho přiblížení činí méně než 0,05 % a je tedy pro většinu praktických použití zanedbatelná. Roku 1685 objevil polský matematik Adam Kochanski poměrně jednoduchou euklidovskou konstrukci, která odpovídá hodnotě čísla \pi asi 3,141533. a je tedy ještě o dva řády přesnější. konstrukce A. Kochanského (1685).

Po objevu analytické geometrie v 17. století (Pierre de Fermat, René Descartes) se přibližné hodnoty čísla \pi začaly hledat pomocí nekonečných řad a počátkem 18. +more století bylo známo na 100 desetinných míst. Dnes je k dispozici v téměř libovolné délce, takže úloha kvadratury kruhu ztratila praktický význam a už v 17. století byli matematici přesvědčeni, že není řešitelná. Kvadratura kruhu se však stala tak populární, že další a další laici hlásili, že úlohu vyřešili. Francouzská akademie se proto roku 1775 usnesla, že nadále nebude zkoumat žádné zprávy o vyřešení tří klasických problémů matematiky, stejně jako zprávy o sestrojení perpetua mobile.

Odkazy

Související články

Trisekce úhlu * Zdvojení krychle * Kochaňského konstrukce

Externí odkazy

[url=http://www. cut-the-knot. +moreorg/impossible/sq_circle. shtml]Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles[/url] * [url=http://mathworld. wolfram. com/CircleSquaring. html]Math World[/url] * [url=https://web. archive. org/web/20060909092241/http://www. scienceworld. cz/sw. nsf/ID/E31E9CF0FFCBD249C1256FAC004CA796/]ScienceWorld[/url].

Kategorie:Dějiny matematiky Kategorie:Geometrie Kategorie:Matematické problémy Kategorie:Neřešitelné úlohy