Cesko.wiki Kvaternionová grupa
Author
Albert FloresGraf cyklů kvaternionové grupy Q_8. Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i 2 = −1, i 3 = −i a i 4 = 1. Kvaternionová grupa Q_8 je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) D_4 jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.
Grupa má reprezentaci
:Q_8 = \langle -1,i,j,k \mid (-1)^2 = 1, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle, \,\! kde 1 je neutrální prvek grupy a -1 komutuje se všemi dalšími prvky.
Násobení prvků podmnožiny \{\pm i, \pm j, \pm k\} se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:
:\begin{alignat}{2} ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\ jk & = i, & kj & = -i, \\ ki & = j, & ik & = -j. \end{alignat}
Maticová reprezentace
Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi 2\times 2 zobrazením
:1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
:i \mapsto \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
:j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
:k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}
a -1,-i,-j,-k jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. +more Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy Q_8 na dvourozměrném komplexním prostoru.
