Cesko.wiki Laplaceova metoda
Author
Albert FloresLaplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru :\int_{a}^b f(t)e^{-n g(t)}\mathrm{d}t. Meze a a b mohou nabývat hodnot \pm\infty.
Čím větší je n, tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. +more Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.
Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.
Tvrzení
Nechť g\in C^2(\langle a,b\rangle ) a existuje ostré minimum t_0\in (a,b) (tedy g'(t_0)=0 a g(t_0)>0). Dále platí f(t_0)\neq 0. Pak platí
:\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\int_a^b f(t)e^{-n g(t)}\mathrm{d}t}{e^{-n g(t_0)}f(t_0)\sqrt{\frac{2\pi}{ng(t_0)}}} =1
nebo v terminologii asymptotické analýzy :\int_a^b f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t \sim e^{-n g(t_0)}f(t_0)\sqrt{\frac{2\pi}{ng(t_0)}}\quad \text{pro } n\to \infty .
Odvození
Základní myšlenka je následující:
Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí U_\varepsilon(t_0).
Za předpokladu, že n je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:
: \begin{align} \int_a^b f(t)e^{-n g(t)}\mathrm{d}t &= e^{-ng(t_0)}\int_{a}^b f(t)e^{-n \left[g(t)-g(t_0)\right]}\mathrm{d}t\\ &\approx e^{-ng(t_0)}f(t_0)\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon} e^{-n \left[g(t)-g(t_0)\right]}\mathrm{d}t \end{align}
Funkci g v bodě t_0 vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:
:g(t)=g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}g(t_0)(t-t_0)^2+ \mathcal{O}((t-t_0)^3)
Tedy můžeme aproximovat : \begin{align} g(t)-g(t_0)&\approx g'(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}g(t_0)(t-t_0)^2\\ &= \frac{1}{2}g(t_0)(t-t_0)^2 \end{align}
Odtud plyne
:\int_a^b f(t)e^{-n g(t)}\mathrm{d}t \approx e^{-ng(t_0)}f(t_0)\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon} e^{-\frac{n}{2}g(t_0)(t-t_0)^2}\mathrm{d}t
Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze \langle -\infty,\infty\rangle šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od t_0 klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu: : \begin{align} e^{-ng(t_0)}f(t_0)\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon} e^{-\frac{n}{2}g(t_0)(t-t_0)^2}\mathrm{d}t &\approx f(t_0)e^{-ng(t_0)}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{n}{2}g(t_0)(t-t_0)^2}\mathrm{d}t\\ &= f(t_0)e^{-ng(t_0)}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{n}{2}g(t_0)s^2}\mathrm{d}s\\ &= f(t_0)e^{-ng(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{ng(t_0)}}\\
\end{align}