Cesko.wiki Lippmannova–Schwingerova rovnice
Author
Albert FloresLippmannova-Schwingerova rovnice je kvantově mechanická rovnice hojně užívaná v teorii rozptylu. Jedná se o integrální rovnici, která je často řešena iterační metodou což vede na Bornovu řadu.
V případě jednokanálového rozptylu má nezávisle na reprezentaci Lippmann-Swingerova rovnice tvar
|\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle= |\rm{p}\rangle + \hat{G}_0^{\pm} (E) \hat{H}_I |\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle,
kde |\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle označuje retardované a advancované řešení rovnice, \hat{H}_I interační hamiltonián a \hat{G}_0^{\pm} (E) retardovaný, resp. avansovaný, Greenův operátor bezčasové Schrödingerovy rovnice pro volnou částici. +more Můžeme jej vyjádřit takto.
\hat{G}_0^{\pm} (E) = \frac{1}{E-\hat{H}_0 \pm i\varepsilon}.
Řešení Lippmann-Swingerovy rovnice vyhovují nečasové (stacionární) Schrödingerově rovnici, tedy platí:
\hat{H} |\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle = E|\psi^{\pm} \rangle
Platí dokonce normovací podmínka
\langle \psi_{\rm{p}}^{\pm}| \psi_{\rm{p'}}^{\pm} \rangle = \delta (\rm{p}-\rm{p'}).
Přitom pro celkový hamiltonián H platí
\hat{H}=\hat{H}_0 + \hat{H}_I,
kde H_0 je hamiltonián volné částice, tedy nerelativisticky
\hat{H}_0= \frac{\hat{\rm{p}}^2}{2m}.
Platí také E=\frac{p^2}{2m}, protože se energie částice zachovává a dlouho před rozptylem odpovídá energii volné částice.
Poznamenejme, že retardované řešení popisuje rozptylující se částici, která na rozptylové centrum nalétává jako rovinná vlna |\rm{p}\rangle a advancované naopak řešení s převráceným během času, jako rovinná vlna vylétá.
V třírozměrném prostoru je Greenův operátor \hat{G}_0^{\pm} (E) v x-reprezentaci dán výrazem
G_0^{\pm} (E)(\rm{x},\rm{x'})=\langle \rm{x}|\hat{G}_0^{\pm} (E)|\rm{x'}\rangle =-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{1}{4\pi} \frac{\exp(\pm ik|\rm{x}-\rm{x'}|)}
| \rm{x}-\rm{x'} |
|---|
Lippmann-Schwingerova rovnice má pak v x-reprezentaci tvar
\psi_{\rm{p}}^+ (\rm{x}) = \frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}} e^{i \rm{p} \cdot \rm{x}} - \frac{2m}{\hbar^2}\frac{1}{4\pi} \int d^3 x' \frac{\exp(ik|\rm{x}-\rm{x'}|)}
| \rm{x}-\rm{x'} |
|---|
kde
\psi_{\rm{p}}^+ (\rm{x}) =\langle \rm{x}|\psi_{\rm{p}}^+ \rangle
a
\rm{k}=\frac{1}{\hbar}\rm{p}.
Z vyjádření v x-reprezentaci je zřejmé, že jde v tomto případě o integrální rovnici.
Metody řešení
Z matematického pohledu je Lippmannova-Schwingerova v souřadnicové reprezentaci integrální rovnicí Fredholmova typu. Lze ji řešit pomocí diskretizace integrálu, což ji převede na soustavu lineárních rovnic. +more Další možností je využít ekvivalence Lippman-Schwingerovy rovnice se Schrödingerovou rovnicí a řešit místo integrální tuto diferenciální rovnici se správnou okrajovou podnínkou. V případě sféricky symetrického potenciálu V se rovnice většinou řeší metodou parciálních vln. Pro vysoké srážkové energie nebo slabé potenciály lze rovnici řešit poruchovým rozvojem (Bornova řada). Zobecnění Lippman Schwingerovy rovnice pro mnohočásticové srážky, například v jaderné či molekulové fyzice se obvykle řeší pomocí metody R-matice navržené Wignerem a Eisenbudem. Další třída metod vychází ze separabilního rozkladu potenciálu nebo Greenova operátoru jako je metoda řetězových zlomků Horáčka a Sasakawy. Důležitá třída metod je založena na variačních principech, například ze Schwingerova variačního principu vychází Schwinger-Lanczosova metoda, která kombinuje variační princip Juliana Schwingera a Lanczosův algoritmus.